Veelgestelde vragen

Algemeen

• Waar komt de naam Volgens Bartjens eigenlijk vandaan?

  De  naam Volgens Bartjens verwijst met een knipoog naar de bekende uitdrukking: ‘Het klopt volgens Bartjens!’ die mensen wel gebruiken als ze zeker zijn van hun zaak. Maar tegelijkertijd klinkt ook de naam van de beroemde zeventiende-eeuwse rekenmeester Willem Bartjens er in door. Willem Bartjens liet in 1604 het rekenboek ‘De Cijfferinghe’ verschijnen. Dat boek was zo succesvol dat het bijna tweeënhalve eeuw lang in het onderwijs gebruikt is. Zoiets is tegenwoordig ondenkbaar. Maar één ding is door de eeuwen heen onveranderd gebleven. Willem Bartjens streefde naar goed rekenonderwijs en dat doen wij tegenwoordig nog steeds. Hopelijk kan het nieuwe/vertrouwde tijdschrift Volgens Bartjens daar een steentje aan bijdragen.

   

  

   

• Wat is de relatie tussen NVORWO en Volgens Bartjens?

  De NVORWO is de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskundeonderwijs. Het is een algemene en onafhankelijke vakvereniging ter bevordering van het reken-wiskundeonderwijs aan leerlingen in de leeftijd van 4 tot 14 jaar. De NVORWO biedt onderdak aan alle mensen die het reken-wiskundeonderwijs in Nederland ter harte gaat ongeacht hun achtergronden en opvattingen: opleiders, begeleiders, onderzoekers, ontwikkelaars, leerkrachten en Pabo-studenten. 
  Voor verdere informatie over de NVORWO en hoe u lid kunt worden van deze vereniging kunt u kijken op de pagina's van de NVORWO op deze site.

  De NVORWO geeft twee tijdschriften uit. Het ene heet Panamapost, waarin u vooral artikelen kunt vinden over onderzoek en nascholing op het gebied van reken-wiskundeonderwijs. Het andere tijdschrift is Volgens Bartjens. In dit blad en de bijbehorende website vindt u informatie van en over de praktijk van het rekenonderwijs op de basisschool. Door middel van Volgens Bartjens hoopt de NVORWO het rekenonderwijs op de Nederlandse basisscholen nog beter te maken dan het al is.

   

• Wat moet ik doen als ik een vraag over reken-wiskundeonderwijs heb?

  U kunt een paar dingen doen. 
  Allereerst kunt u onderzoeken of uw vraag misschien al eerder door iemand anders is gesteld. Raadpleeg hiervoor de andere lezersvragen op deze site of breng een bezoek aan Rekenfaq ( www.fi.uu.nl/rekenweb/rekenfaq ).

  Heeft u het antwoord hierna nog niet gevonden, dan kunt u uw vraag naar de webredactie vanVolgens Bartjens... mailen ( webredactie@nvorwo.nl ) en u krijgt zo spoedig mogelijk een antwoord. 
  

   

Automatiseren

• Moeten de tafels nog wel gestampt worden?

  Vroeger was het heel normaal: rijen tafels moesten we leren. Bij ons thuis gebeurde dat onder de afwas, dan had je toch niets beters te doen. Ik me nog opdreunen: 1 x 6 = 6, 2 x 6 = 12, 3 x 6 = … Saai, maar het werkte wel. Nog steeds heb ik alle producten van de tafels goed in mijn hoofd paraat.

   

  In het huidige realistische reken-wiskundeonderwijs komt het opdreunen nagenoeg niet meer voor. Kinderen leren tegenwoordig wel hoe ze met allerlei handige strategieën de (deel)tafels snel kunnen oplossen. Inzichtelijk en snel strategiegebruik is natuurlijk belangrijk, maar het is ook nodig dat kinderen op een gegeven moment antwoorden op vermenigvuldigingen snel, zonder belasting van het werkgeheugen, kunnen vinden in hun hoofd. Ze moeten antwoorden op simpele tussenopgaven paraat hebben om de grote lijn in moeilijke sommen goed vast te kunnen houden.

   

  Onder simpele tussenopgaven versta ik het optellen en aftrekken tot 20 en de tafels en deeltafels tot en met 10. In plaats het van het ‘ouderwetse’ opdreunen, zijn er nu allerlei spelletjes waarmee leerlingen het belangrijke basismateriaal in hun hoofd kunnen prenten. Denk bijvoorbeeld aan het gebruik van dobbelstenen (liefst 10-zijdig, maar gewone dobbelstenen zijn ook geschikt), waarbij de twee getallen op de dobbelstenen opgeteld moeten worden. Of het gebruik van kaartjes met getallen met getallen erop, die één voor één omgedraaid moeten worden, waarna er bewerkingen met de getallen uitgevoerd moeten worden. Flitskaartjes kunnen ingezet worden, met aan de ene kant de som en aan de andere kant het antwoord. Op deze manier zijn de uitkomsten goed te controleren.

   

  Voorwaarde bij alle spelletjes is dat er een tijdsaspect aan verbonden is, zodat het echt om de snelheid gaat. Hiervoor kun je gebruik maken van een zandloper en een scorekaart waarop steeds het aantal sommen binnen de tijd gemaakt moet worden. Of een stopwatch met scoregrafiek, waarop bijgehouden kan worden hoe het tempo van de leerling vordert. Voor meer voorbeelden is er onder andere het Remediërend Rekenpakket Automatiseren van de Zuid-Vallei, onderdeel van Giralis, (www.remediering.nl ).

   

  Jolanda Jager-van Eck

   

   

  
  

   

   

   

   

   

  Afbeelding: www.kennislink.nl

   

• Mogen kinderen nu wel of niet met hun vingers rekenen?

  Het is een tijdje glashelder geweest: in de rekenles mag je je vingers niet gebruiken, punt-uit! Kinderen wisten dat en ontwikkelden allerlei manieren om het stiekem toch te doen. Ze tikten stiekem met hun vingers op hun been, of ze legden hun vingers op tafel en probeerden te tellen door er naar te kijken.

  Verbieden heeft weinig zin. Alle kinderen gebruiken in eerste instantie hun vingers bij het rekenen. Vingers zijn sinds mensenheugenis letterlijk het meest voor de handliggende rekenmiddel.

  Na verloop van tijd zouden kinderen wel moeten gaan ontdekken dat dit tellend rekenen allerlei risico's op fouten inhoudt. 'Waar moet ik beginnen met terugtellen?' 'Hoeveel heb ik er nou al bijgeteld?' Tellen in sprongen kan zoveel veiliger en vlugger, maar dan moeten kinderen wel durven vertrouwen op die sprongen.

  Op een dag gaan ze de structuur van getallen herkennen: 8 is een handvol en nog drie.

  Dus is het veel makkelijker om bij 8-5 in een keer die handvol weg te halen.   

   

  Behalve deze vijfstructuur zijn er nog meer getalstructuren.

  8 is immers ook dubbel vier en dat is weer handig te benutten als je vier moet aftrekken.

  Het rekenrek is een mooi middel om allerlei getalstructuren, ook boven de tien, zichtbaar te maken en met flitskaarten in te prenten. Het rekenrek sluit aan bij de vingers die geleidelijk aan worden 'verlaten', structurerend rekenen met het getallenrek gaat immers veel beter. Ook het rekenrek wordt op den duur afgebouwd als de leerlingen gestimuleerd worden de getalbeelden in gedachten voor te stellen. Dan zijn ze toe aan het formele rekenen.

   

  

  Voor meer informatie zie: Treffers, A., M. van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys (1999) Jonge kinderen leren rekenen. Tussendoelen annex leerlijnen. Hele getallen onderbouw basisschool. Groningen, Wolters-Noordhoff. p.31-35

   

   

• Zijn bovenbouwleerlingen, die weinig geautomatiseerde kennis hebben, geholpen met een rekenmachine?

  De meeste basisscholen hebben voor de leerlingen in de bovenbouw rekenmachientjes in de kast liggen. Die worden uitgedeeld als de methode dat aangeeft. Als de betreffende opgaven gemaakt zijn gaan ze meestal rap weer terug de kast in.

  Toch kan het verstandig zijn om sommige leerlingen op eigen initiatief, zo nodig in elke les, het rekenmachientje te laten gebruiken. Het gaat om leerlingen die over weinig geautomatiseerde vaardigheden beschikken. De elektronische rekenaar helpt hen bij allerlei rekenopgaven waar deze basisvaardigheden een rol spelen. Het gebruik van de rekenmachine stelt hen in staat om contextopgaven over diverse vakonderdelen op bovenbouwniveau te maken. Ook bij oefenopgaven op het gebied van handig rekenen kan de rekenmachine deze leerlingen helpen. Zo kunnen ze mee blijven doen met hun klasgenoten.

   

  Het risico van deze aanpak is dat de leerlingen blind op de uitkomsten op het venster van hun machientje gaan vertrouwen en zich niet meer afvragen of de uitkomst wel kan kloppen. Ze houden dan geen rekening met de mogelijkheid dat ze wellicht verkeerde toetsen hebben ingedrukt.

   

  Deze leerlingen, maar ook hun klasgenoten, moeten leren om het machientje verstandiger te gaan gebruiken. Stel hen vragen als: Heb je voor deze opgave het machientje wel echt nodig? Kun je die opgave niet sneller uit je hoofd uitrekenen? Kun je onderdelen van deze opgave niet sneller uit je hoofd uitrekenen?

   

  Oefeningen waarbij de uitkomsten van opgaven eerst worden geschat en daarna op het machientje worden uitgerekend - denk bijvoorbeeld aan bedragen op een kassabon – bevorderen het bewust en doelmatig gebruik ervan.

   

  Opgaven als:

  25 x 80 =

  6 x 450 =

  1802 – 1298 =

  2275 + 2275 + 2275 + 2275 =

  699 + 699 =

  kan vrijwel iedereen met enige oefening vlotter uit het hoofd uitrekenen dan met elektronische hulp. Dat moeten leerlingen zich bewust worden.

   

  Tevens moeten ze ook voorbeelden zien van berekeningen waarbij inzet van de rekenmachine wel zinvol is en zich bewust worden waarom dat zo is. Zo worden ze voorbereid op het voortgezet onderwijs waar de rekenmachine voortdurend beschikbaar mag zijn. Je ziet leerlingen daar op minstens twee manieren onverstandig met hun rekenmachine werken: allereerst nemen ze meestal de uitkomst zonder nadenken over. Daarnaast zie je middelbare scholieren voor elke berekening het apparaatje uit de tas halen, zelfs voor sommen als 5 + 5 = en 2 x 4 =.

   

  Om dat te voorkomen moeten kinderen op de basisschool al leren hoe ze verstandig met de rekenmachine om kunnen gaan. Dat geldt voor zwakke rekenaars, maar evenzeer voor hun klasgenoten.

   

  Frank van Merwijk

  De auteur is werkzaam als docent rekenen-wiskundedidactiek op de Pabo van de Hogeschool van Arnhem en Nijmegen

   

• Hoe lang moet je doorgaan met het oefenen van de tafels van vermenigvuldiging?

   In groep 4 en 5 worden leerlingen uitgedaagd om met behulp van uitgekiende strategieën de tafels van vermenigvuldiging op te bouwen. Weten ze 2 x 6 = 12, 10 x 6 = 60 en 5 x 6 = 30 (de helft van 10 x 6), dan kunnen ze via verdubbelen, één keer meer en één keer minder de hele tafel reconstrueren. Vervolgens worden de tafels ingeoefend en geautomatiseerd. Op veel scholen ontvangen kinderen die de tafels door elkaar uit het hoofd kunnen opzeggen een tafeldiploma. Zo’n diploma suggereert dat er iets wordt afgesloten maar dat is eigenlijk niet het geval!

   

  Geautomatiseerde (tafel-)kennis moet namelijk worden onderhouden. Zo niet, dan zakt het weg en ontstaat er een probleem in de hogere groepen bij allerlei toepassingen, zoals grote vermenigvuldigingen, delen en breuken.

   

  Het oefenen van de tafels moet daarom gedurende de gehele basisschool doorgaan. Dit oefenen moet het karakter hebben van het onderhouden van de opgedane kennis. Dat betekent dat er zowel aandacht is voor het product (het weetje) als voor het proces.

   

  Bijvoorbeeld:

  6 x 8 = 48 want 5 x 8 = 40 en dan één keer 8 erbij. Juist dat proces kan je helpen het tafelproduct te vinden als je het niet meer paraat hebt, bijvoorbeeld bij toepassingsopgaven.

   

  Maar toepassen van de tafels alléén is als oefening niet genoeg. Zet de tafels regelmatig op het programma van de hoofdrekenlesjes die minstens drie maal per week op het lesrooster staan. Verder zijn er ook geschikte, speelse oefenvormen, zoals het 24-game, tafelbingo en verschillende spelletjes die u vindt op www.rekenweb.nl , zoals ‘Vijf op een rij’ en ‘Kikker’.

   

  Marc van Zanten

  De auteur is werkzaam als docent rekenen/wiskunde en didactiek op de Pabo Edith Stein Onderwijscentrum Twente.

   

• Wat is het verschil tussen automatiseren en memoriseren?

  Automatiseren en memoriseren zijn begrippen die in de basisschool geregeld door elkaar gebruikt worden. Zowel bij automatiseren als bij memoriseren gaat het om leerprocessen die gericht zijn op het snel reproduceren van een leerresultaat. Toch zijn er principiële verschillen.

   

  Een leerling, die de opgave 6 + 7 leert via memoriseren, leert de opgave met bijbehorend antwoord gewoon uit zijn hoofd. Op dezelfde manier waarop hij ook bijvoorbeeld landen met hoofdsteden of Franse woordjes onthoudt. Veel oefenen, veel herhalen. De som wordt opgeslagen in het geheugen (auditief en/of visueel) en de leerling kan het antwoord binnen enkele seconden reproduceren.

   

  Binnen het realistisch reken- en wiskundeonderwijs wordt de nadruk gelegd op actief inzichtelijk leren. In dit leerproces construeert de leerling in een eerste verkennende fase een eigen aanpak, eigen strategieën. De leerling bedenkt bijvoorbeeld dat 6 + 7 via de vijfstructuren van 6 (5+1) en 7 (5+2) opgelost kan worden en vindt het antwoord dan via (5+5) en dan nog (1 + 2). In interactie met leerkracht en medeleerlingen worden de ontwikkelde strategieën vergeleken en stapt de leerling misschien over naar een andere strategie (bijvoorbeeld 6+7 = ‘dubbel 6 +1’). Hij leert misschien wel verschillende strategieën flexibel toe te passen.

   

  Als de leerling zich met inzicht één of enkele strategieën heeft eigen gemaakt zal hij de betreffende strategie kunnen oefenen, c.q. automatiseren. Doordat de leerling het weggetje van de gekozen strategie steeds weer langsloopt, zal de snelheid, waarmee hij de basisopgaven maakt, steeds hoger worden. Op een gegeven moment gaat dat zo snel dat de leerling nauwelijks meer aan de strategie denkt. De handeling is dan geautomatiseerd.

   

  Het eindresultaat lijkt voor de waarnemer hetzelfde als bij gememoriseerde kennis, maar desgevraagd kan de leerling de onderliggende strategie wel reproduceren. In de rekenles is geautomatiseerde kennis veel waardevoller dan gememoriseerde kennis.

   

  Hans Wolthuis

  De auteur is werkzaam op Saxion Hogescholen, Deventer

   

Bovenbouw

• Zijn bovenbouwleerlingen, die weinig geautomatiseerde kennis hebben, geholpen met een rekenmachine?

  De meeste basisscholen hebben voor de leerlingen in de bovenbouw rekenmachientjes in de kast liggen. Die worden uitgedeeld als de methode dat aangeeft. Als de betreffende opgaven gemaakt zijn gaan ze meestal rap weer terug de kast in.

  Toch kan het verstandig zijn om sommige leerlingen op eigen initiatief, zo nodig in elke les, het rekenmachientje te laten gebruiken. Het gaat om leerlingen die over weinig geautomatiseerde vaardigheden beschikken. De elektronische rekenaar helpt hen bij allerlei rekenopgaven waar deze basisvaardigheden een rol spelen. Het gebruik van de rekenmachine stelt hen in staat om contextopgaven over diverse vakonderdelen op bovenbouwniveau te maken. Ook bij oefenopgaven op het gebied van handig rekenen kan de rekenmachine deze leerlingen helpen. Zo kunnen ze mee blijven doen met hun klasgenoten.

   

  Het risico van deze aanpak is dat de leerlingen blind op de uitkomsten op het venster van hun machientje gaan vertrouwen en zich niet meer afvragen of de uitkomst wel kan kloppen. Ze houden dan geen rekening met de mogelijkheid dat ze wellicht verkeerde toetsen hebben ingedrukt.

   

  Deze leerlingen, maar ook hun klasgenoten, moeten leren om het machientje verstandiger te gaan gebruiken. Stel hen vragen als: Heb je voor deze opgave het machientje wel echt nodig? Kun je die opgave niet sneller uit je hoofd uitrekenen? Kun je onderdelen van deze opgave niet sneller uit je hoofd uitrekenen?

   

  Oefeningen waarbij de uitkomsten van opgaven eerst worden geschat en daarna op het machientje worden uitgerekend - denk bijvoorbeeld aan bedragen op een kassabon – bevorderen het bewust en doelmatig gebruik ervan.

   

  Opgaven als:

  25 x 80 =

  6 x 450 =

  1802 – 1298 =

  2275 + 2275 + 2275 + 2275 =

  699 + 699 =

  kan vrijwel iedereen met enige oefening vlotter uit het hoofd uitrekenen dan met elektronische hulp. Dat moeten leerlingen zich bewust worden.

   

  Tevens moeten ze ook voorbeelden zien van berekeningen waarbij inzet van de rekenmachine wel zinvol is en zich bewust worden waarom dat zo is. Zo worden ze voorbereid op het voortgezet onderwijs waar de rekenmachine voortdurend beschikbaar mag zijn. Je ziet leerlingen daar op minstens twee manieren onverstandig met hun rekenmachine werken: allereerst nemen ze meestal de uitkomst zonder nadenken over. Daarnaast zie je middelbare scholieren voor elke berekening het apparaatje uit de tas halen, zelfs voor sommen als 5 + 5 = en 2 x 4 =.

   

  Om dat te voorkomen moeten kinderen op de basisschool al leren hoe ze verstandig met de rekenmachine om kunnen gaan. Dat geldt voor zwakke rekenaars, maar evenzeer voor hun klasgenoten.

   

  Frank van Merwijk

  De auteur is werkzaam als docent rekenen-wiskundedidactiek op de Pabo van de Hogeschool van Arnhem en Nijmegen

   

• Kun je in groep 7 en 8 het metrieke stelsel in de klas laten hangen?

  Leerkrachten op een reguliere basisschool zullen het niet in hun hoofd halen om in groep 7/8 de antwoorden van de tafels van vermenigvuldiging voor iedereen zichtbaar op te hangen. De grote meerderheid van de kinderen moet deze tafels immers uit het hoofd kennen om goed te kunnen rekenen aan problemen.

  Waarom zouden we in de bovenbouw dan wel het metrieke stelsel laten hangen? 
  Het metrieke stelsel is een model, net zoals het rekenrek en de getallenlijn. Het is een hulpmiddel dat door oefening overbodig wordt. Nadat de leerlingen het volledige metrieke stelsel hebben leren kennen, de samenhang tussen de maten kunnen doorgronden en zich de meeste relaties concreet kunnen voorstellen, moet het geïnternaliseerd worden en daarna… weg ermee!

  Gelukkig hoeft die plek aan de muur daarna niet leeg te blijven. De leerkracht kan de kinderen vragen of ze in groepjes een poster willen maken waarop een onderdeel van het metrieke stelsel tot uiting komt. Je kunt bijvoorbeeld denken aan:
  • vierkantjes van 1 mm2, 1cm2, 1 dm2, 1 m2;
  • een zelf verzonnen ezelsbruggetje voor een rekenregel;
  • een paar mooie referentiematen, door de kinderen zelf (na)gemeten. Bijvoorbeeld: de kleuterzandbak heeft een oppervlakte van precies 1 dam2;
  • een willekeurig figuur ingekleurd met vierkante centimeters en met een andere kleur de vierkante decimeters;
  • een aantal tekeningen van voorwerpen met daarbij hun inhoud in verschillende maten uitgedrukt;
  Enzovoort.

  Na een kritische, klassikale bespreking worden de posters – eventueel na wat aanpassing – allemaal om de beurt een paar weken opgehangen. En het metrieke stelsel? Dat hangt niet meer aan de muur, dat zit in hun hoofd.

  
  

  Caroliene van Waveren
  De auteur is werkzaam op de Marnix-Academie in Utrecht

  
  

  
  

   

• Hoe kan het rekenen met tekorten inzichtelijk worden gemaakt?

  De som 514 – 309 is op te lossen door 500 - 300 en 14 - 9 te doen. Maar in veel realistische reken-wiskundemethoden wordt eind groep 5 het kolomsgewijs aftrekken, oftewel het rekenen met tekorten aangeleerd. Dat ziet er bij dit voorbeeld als volgt uit:

   

  500 – 300 = 200

  10 – 0 = 10

  4 – 9 = –5 200 + 10 – 5 = 205

   

  Een veel voorkomende fout bij een dergelijke aftrekking is dat kinderen de 9 niet van de 4 kunnen aftrekken en daarom de berekening maar omdraaien: 9 eraf 4 gaat namelijk wel. Met deze oplossing hebben ze echter de som veranderd in 519–304.

   

  Hoe kun je kinderen tot het inzicht brengen dat dat niet correct is? Maak er een geldopgave van! ‘In een geldkistje zit €514 en je haalt er €309 uit. Hoeveel euro blijft er in het kistje over?’

  Zorg voor een kistje met speelgeld, namelijk: 5 briefjes van 100 euro, 1 briefje van 10 euro en 4 munten van 1 euro. Nu moeten we 309 euro betalen. We halen er eerst drie honderdjes uit. Dat is geen probleem, maar nu moeten we nog negen euro betalen. Hoe kunnen we negen enen weghalen terwijl er maar vier munten van €1 zijn? Door het speelgeld lopen de kinderen tegen het voldongen feit aan dat ze vijf enen ‘tekort’ komen om de aftrekking mogelijk te maken.

   

  Vaak reageren kinderen verrast als ze dankzij het geld ontdekken dat de aftrekking bij de enen ‘onmogelijk’ is. Het nodigt hen uit tot het vinden van een eigen oplossing! Max bedacht een oplossing die ook veel andere zwakke rekenaars vonden:

  

  Max red eneert dat hij wel vier munten van €1 uit het kistje kan halen. Dat zijn er echter nog niet genoeg. Er moeten er daarna nog vijf af. Hij noteert dit voluit als ‘nog 5 er af halen’. Van de uitkomst 210 trekt hij dus nog 5 af en komt op 205 uit. Max ervaart het tekortenprobleem wel, al gebruikt hij de term ‘tekort’ niet. Later kan hij er op worden aangestuurd de officiële notatie van –5, te gebruiken. Voor Max zal dit geen negatief getal zijn, maar een verkorte notatie van zijn eigen informele oplossing.

   

  Erica de Goeij

  De auteur is werkzaam op het Freudenthal Instituut en op de Julianaschool in Bilthoven.

   

Breuken

• Wat doe ik als een leerling niet begrijpt dat delen door een breuk een groter getal oplevert?

  De vraagstelling lijkt erop te wijzen dat de leerkracht het belangrijk vindt dat een leerling deze regel kent en begrijpt. Het is maar de vraag in hoeverre dat werkelijk belangrijk is. Het lijkt op een regel als ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Leuk om te weten, maar verder zegt het niets. Het delen van breuken behoort niet tot de minimumdoelen. Een oriëntatie op het delen van breuken is echter wel aan te raden. 
  Laten we hiervoor eerst eens kijken naar wat delen eigenlijk is. 
  
  Delen door een getal wordt vaak opgevat als een hoeveelheid verdelen over een aantal (bijvoorbeeld 24 snoepjes verdelen over 6 kinderen). Een dergelijke interpretatie maakt de vertaalslag naar delen door een breuk een beetje lastig (2 flessen cola verdelen over 2/3 kinderen?).
  Een andere manier om een deelsom te interpreteren is: Hoeveel keer past het? Bijvoorbeeld: Hoeveel keer past 6 in 24? Of: Hoeveel keer past 2/3 in 2? Op deze manier kan de vertaalslag wel gemaakt worden.
  
  Als eenmaal begrepen wordt wat er met de som bedoeld wordt zijn er verschillende manieren om hem op te lossen.
  De som 2: 2–3 =… betekent bijvoorbeeld: Hoeveel veldflessen van 2–3 liter kan ik uit 2 liter sportdrank halen? Deze som kan opgelost worden met behulp van:
  - een tekening:

  
  - de getallenlijn:

  
  - handig rekenen: 2 liter is 6/3 liter. En 1 veldfles is 2/3 liter.
  3 x 2/3 = 6/3 = 2 liter, dus 3 veldflessen kan je vullen met 2 liter.
  
  Het gaat er steeds om de leerling inzicht te verschaffen, zodat hij/zij de som werkelijk begrijpt. De regel volgt daar vanzelf uit, maar is niet het doel.
  
  Jolanda Jager
  De auteur is werkzaam als ontwikkelaar van remediërende rekenmaterialen bij Giralis, partners in onderwijs.

   

Communicatie tijdens het rekenen

• Hoe zinvol is het als kinderen elkaar helpen tijdens het rekenen?

  Kinderen vragen eerder hulp aan een medeleerling dan aan de leerkracht. De drempel ligt lager en kinderen spreken meer dezelfde ‘taal’. Kinderen die uitleg geven krijgen zelfvertrouwen en worden gedwongen hun aanpak te structureren zodat die begrijpelijk wordt voor anderen. Daar leer je van. Hulp bieden gaat verder dan impliciet weten hoe je een som oplost.

   

  Wanneer je eenmaal het ‘hulpgeven aan elkaar’ in je klas georganiseerd hebt, geeft dat jou als leerkracht meer ruimte om kinderen gericht te helpen die juist jou nodig hebben als expert.

   

  Je kunt ervoor kiezen om met maatjes te werken (kinderen die je voor een bepaalde opdracht en bepaalde tijd aan elkaar hebt gekoppeld). Voorkom dat goede rekenaars tijdens de rekentijd vooral anderen helpen en daardoor niet toekomen aan eigen uitdagend rekenwerk.

   

  Oudere leerlingen kunnen ook als helper (tutor) worden ingezet. Dan gaat het om een gestructureerde en systematische manier om kinderen samen met een tutor bepaalde vaardigheden te laten oefenen. Je kunt kinderen uit de bovenbouw selecteren en trainen om met jongere zwakke rekenaars te werken. Als je deze werkwijze goed inzet, verwerven beide kinderen meer inzicht in en een positieve houding ten opzichte van rekenen.

  Kinderen moeten wel leren hoe ze hulp kunnen bieden. Geen antwoord voorzeggen, maar de hulpvrager laten nadenken, bijvoorbeeld aan de hand van een tip: ‘Als je 6 x 5 niet weet kun je misschien eerst aan 5 x 5 denken.’

   

  Wil je er zeker van zijn dat alle kinderen tegelijk actief bezig zijn, pas dan eens een didactische structuur toe zoals Tweetal Coach (kinderen coachen elkaar om beurten in een tweetal).¹

  Helpen is niet alleen leuk, maar ook leerzaam.

   

  Saskia van Dongen

  De auteur is werkzaam als adviseur bij Marant | Adviseurs in leren & ontwikkeling.

   

  1.   Deze werkvorm wordt besproken in Borghouts, C. e.a. (2000). Interactie in Rekenen, eenvoudige interactie realiseren in het werken met uw rekenmethode, Bazalt Educatieve Uitgaven, Middelburg.

   

   

   

   

Getallenlijn

• Mag de gevulde getallenlijn in groep vier het hele schooljaar blijven hangen?

  Als je de getallenlijn mét alle getallen erop het hele jaar zichtbaar in je klas hebt hangen, loop je het gevaar dat kinderen niet loskomen van het tellend oplossen van rekenopgaven.

  Aanvankelijk lossen kinderen in groep 2/3 vraagstukken waarbij het gaat om samenvoegen (optellen) of weghalen (aftrekken) tellend op. Dat is een goed begin, maar zodra kinderen structuur in de getallenrij gaan herkennen, zijn ze in staat het tellende rekenen te overwinnen. Zo komen ze tot handig rekenen en uiteindelijk tot het automatiseren en memoriseren van optellingen en aftrekkingen.
  Met het structureren van getallen wordt bedoeld dat kinderen bijvoorbeeld zes gaan zien als 5 + 1 of als ‘dubbel drie’. Materialen en modellen kunnen dit proces van structureren bevorderen. Denk hierbij aan: handen, het rekenrek, de kralenketting, de lege getallenlijn, eierdozen, turven en geld. Door het opzetten van vingers of kralen gaan kinderen getalbeelden herkennen en getallen splitsen. Van daaruit is de stap naar handige strategieën als dubbelen, bijna-dubbelen en bijna-verdwijnsommen maar klein. Ook is het van belang dat kinderen getallen vlot naar grootte kunnen ordenen en de naaste buren van getallen kunnen noemen. 
  Tellen, sprongen maken, het zijn allemaal onmisbare basisvaardigheden om van tellend rekenen via structurerend rekenen op formeel rekenen uit te komen. De aanwezigheid van een ingevulde getallenlijn in de klas kan kinderen belemmeren dit proces naar het formele rekenen te doorlopen. Ze blijven tellen en hoe langer dat duurt hoe moeilijker het wordt om daar verandering in te brengen.
  

  Jacqueline van de Ven
  De auteur is werkzaam als intern begeleider op basisschool Het Palet in Hapert.

   

Metriek stelsel

• Kun je in groep 7 en 8 het metrieke stelsel in de klas laten hangen?

  Leerkrachten op een reguliere basisschool zullen het niet in hun hoofd halen om in groep 7/8 de antwoorden van de tafels van vermenigvuldiging voor iedereen zichtbaar op te hangen. De grote meerderheid van de kinderen moet deze tafels immers uit het hoofd kennen om goed te kunnen rekenen aan problemen.

  Waarom zouden we in de bovenbouw dan wel het metrieke stelsel laten hangen? 
  Het metrieke stelsel is een model, net zoals het rekenrek en de getallenlijn. Het is een hulpmiddel dat door oefening overbodig wordt. Nadat de leerlingen het volledige metrieke stelsel hebben leren kennen, de samenhang tussen de maten kunnen doorgronden en zich de meeste relaties concreet kunnen voorstellen, moet het geïnternaliseerd worden en daarna… weg ermee!

  Gelukkig hoeft die plek aan de muur daarna niet leeg te blijven. De leerkracht kan de kinderen vragen of ze in groepjes een poster willen maken waarop een onderdeel van het metrieke stelsel tot uiting komt. Je kunt bijvoorbeeld denken aan:
  • vierkantjes van 1 mm2, 1cm2, 1 dm2, 1 m2;
  • een zelf verzonnen ezelsbruggetje voor een rekenregel;
  • een paar mooie referentiematen, door de kinderen zelf (na)gemeten. Bijvoorbeeld: de kleuterzandbak heeft een oppervlakte van precies 1 dam2;
  • een willekeurig figuur ingekleurd met vierkante centimeters en met een andere kleur de vierkante decimeters;
  • een aantal tekeningen van voorwerpen met daarbij hun inhoud in verschillende maten uitgedrukt;
  Enzovoort.

  Na een kritische, klassikale bespreking worden de posters – eventueel na wat aanpassing – allemaal om de beurt een paar weken opgehangen. En het metrieke stelsel? Dat hangt niet meer aan de muur, dat zit in hun hoofd.

  
  

  Caroliene van Waveren
  De auteur is werkzaam op de Marnix-Academie in Utrecht

  
  

  
  

   

Middenbouw

• Mag de gevulde getallenlijn in groep vier het hele schooljaar blijven hangen?

  Als je de getallenlijn mét alle getallen erop het hele jaar zichtbaar in je klas hebt hangen, loop je het gevaar dat kinderen niet loskomen van het tellend oplossen van rekenopgaven.

  Aanvankelijk lossen kinderen in groep 2/3 vraagstukken waarbij het gaat om samenvoegen (optellen) of weghalen (aftrekken) tellend op. Dat is een goed begin, maar zodra kinderen structuur in de getallenrij gaan herkennen, zijn ze in staat het tellende rekenen te overwinnen. Zo komen ze tot handig rekenen en uiteindelijk tot het automatiseren en memoriseren van optellingen en aftrekkingen.
  Met het structureren van getallen wordt bedoeld dat kinderen bijvoorbeeld zes gaan zien als 5 + 1 of als ‘dubbel drie’. Materialen en modellen kunnen dit proces van structureren bevorderen. Denk hierbij aan: handen, het rekenrek, de kralenketting, de lege getallenlijn, eierdozen, turven en geld. Door het opzetten van vingers of kralen gaan kinderen getalbeelden herkennen en getallen splitsen. Van daaruit is de stap naar handige strategieën als dubbelen, bijna-dubbelen en bijna-verdwijnsommen maar klein. Ook is het van belang dat kinderen getallen vlot naar grootte kunnen ordenen en de naaste buren van getallen kunnen noemen. 
  Tellen, sprongen maken, het zijn allemaal onmisbare basisvaardigheden om van tellend rekenen via structurerend rekenen op formeel rekenen uit te komen. De aanwezigheid van een ingevulde getallenlijn in de klas kan kinderen belemmeren dit proces naar het formele rekenen te doorlopen. Ze blijven tellen en hoe langer dat duurt hoe moeilijker het wordt om daar verandering in te brengen.
  

  Jacqueline van de Ven
  De auteur is werkzaam als intern begeleider op basisschool Het Palet in Hapert.

   

• Mogen kinderen nu wel of niet met hun vingers rekenen?

  Het is een tijdje glashelder geweest: in de rekenles mag je je vingers niet gebruiken, punt-uit! Kinderen wisten dat en ontwikkelden allerlei manieren om het stiekem toch te doen. Ze tikten stiekem met hun vingers op hun been, of ze legden hun vingers op tafel en probeerden te tellen door er naar te kijken.

  Verbieden heeft weinig zin. Alle kinderen gebruiken in eerste instantie hun vingers bij het rekenen. Vingers zijn sinds mensenheugenis letterlijk het meest voor de handliggende rekenmiddel.

  Na verloop van tijd zouden kinderen wel moeten gaan ontdekken dat dit tellend rekenen allerlei risico's op fouten inhoudt. 'Waar moet ik beginnen met terugtellen?' 'Hoeveel heb ik er nou al bijgeteld?' Tellen in sprongen kan zoveel veiliger en vlugger, maar dan moeten kinderen wel durven vertrouwen op die sprongen.

  Op een dag gaan ze de structuur van getallen herkennen: 8 is een handvol en nog drie.

  Dus is het veel makkelijker om bij 8-5 in een keer die handvol weg te halen.   

   

  Behalve deze vijfstructuur zijn er nog meer getalstructuren.

  8 is immers ook dubbel vier en dat is weer handig te benutten als je vier moet aftrekken.

  Het rekenrek is een mooi middel om allerlei getalstructuren, ook boven de tien, zichtbaar te maken en met flitskaarten in te prenten. Het rekenrek sluit aan bij de vingers die geleidelijk aan worden 'verlaten', structurerend rekenen met het getallenrek gaat immers veel beter. Ook het rekenrek wordt op den duur afgebouwd als de leerlingen gestimuleerd worden de getalbeelden in gedachten voor te stellen. Dan zijn ze toe aan het formele rekenen.

   

  

  Voor meer informatie zie: Treffers, A., M. van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys (1999) Jonge kinderen leren rekenen. Tussendoelen annex leerlijnen. Hele getallen onderbouw basisschool. Groningen, Wolters-Noordhoff. p.31-35

   

   

• Is het goed als ik zwakke rekenaars alleen de gewone rijgstrategie leer en niet met geavanceerde rijgstrategieën confronteer?

  Voor zwakke rekenaars is het al heel wat als ze de gewone rijgstrategie voor het optellen en aftrekken onder de 100 onder de knie hebben. Leerkrachten prijzen zich gelukkig als dat lukt, ook al gebruiken de kinderen er soms nog een kralenketting of een lege getallenlijn bij. Na een tijdje biedt de methode een variant op de gewone rijgstrategie aan, ‘het rekenen met een rond getal’, bijvoorbeeld 34 + 49 = 34 + 50 – 1. Veel leerkrachten besluiten hun zwakke rekenaars niet met deze geavanceerde methode te vermoeien en kiezen ervoor om het voor deze kinderen bij de gewone rijgstrategie te laten. Dus 34 + 40 + 6 + 3. Dat is jammer. De varianten op de gewone rijgstrategie zijn namelijk in zekere zin vaak makkelijker: ze vragen minder handelingen en doen een minder groot beroep op het werkgeheugen van de kinderen. Daar staat tegenover dat ze wel een groter beroep doen op het inzicht in getallen, in de relatie tussen getallen. Toch wil ik er voor pleiten om zwakke rekenaars de varianten op de rijgstrategie ook te laten leren. Juist deze kinderen hebben vaak baat bij oplossingen die minder handelingen vragen. Ze moeten dan wel meer begrip en inzicht opbouwen, maar de tijd om dat te verwerven komt vrij door minder te oefenen. Inzicht ontstaat namelijk niet door oefenen, maar door activiteiten te doen die meer begrip van getallen opleveren zoals: • Op verschillende manieren springen naar het getal 49. Dat kan bijvoorbeeld door vier stappen van 10 en negen huppen van 1, maar ook door 5 stappen van 10 en één hupje terug. • We vergelijken de som met situaties waarin je doorschiet en daarom weer een stukje terug moet: we spelen bijvoorbeeld ganzenbord. Je staat op 24 en gooit 9. Slimme spelers springen dan in een keer naar 34, maar moeten dan natuurlijk 1 vakje terug. Met de kralenketting kun je deze handige strategie zichtbaar maken. • Ik rijd voor het eerst de straat binnen waar degene woont bij wie ik op bezoek ga. De nummers beginnen bij 36 en ik moet op 74 zijn. ‘Nog 38 nummers verder’, denk ik. Maar dat gaat toch harder dan ik verwacht. Voor ik het weet sta ik bij 76. Dat is 40 nummers verder! Stukje terug dus!! Er is vast nog meer te bedenken om aan begrip te werken. En dat begrip hebben zwakke rekenaars net zo hard nodig als sterke rekenaars. Dat mag je ze niet onthouden.

   

  Hans Bögemann

  De auteur is werkzaam als onderwijsadviseur bij Eduniek, locatie Maartensdijk.

   

Notatie en taalgebruik

• Rekenlessen bevatten vaak moeilijke woorden. Is er een efficiënte manier om hiermee om te gaan?

  In het realistisch reken-wiskundeonderwijs heeft men ervoor gekozen om de wiskunde aan de belevingswereld van het kind te ontlenen. Een reken-wiskundeles is dus talig. Bij kinderen met taalproblemen is het soms moeilijk na te gaan waarom ze laag scoren bij rekenen-wiskunde. Hebben ze een rekenprobleem of hebben ze een of meer cruciale woorden uit de tekst niet begrepen? Vaak is het laatste het geval. Er moet dus geïnvesteerd worden in het begrijpen van de tekst.
  In een taalzwakke groep heeft een leerkracht haar handen vol als een schip uit de haven wegvaart omdat ze aandacht moet besteden aan woorden als kade, anker, mast, enzovoort. Het is natuurlijk geen goede oplossing om dan maar alle talige aspecten uit het rekenen te halen. Een illustratie kan soms een goede ondersteuning bieden, maar soms voor nog meer verwarring zorgen. Een afbeelding van een oude weegschaal in een Cito-toets maakte het voor sommige kinderen alleen maar ingewikkelder. Illustraties moeten doordacht en met zorg gekozen worden.
  Menig allochtone Pabo-student heeft baat bij een begrippenlijst. Zou dit op de basisschool ook kunnen werken? Elke methode zijn eigen moeilijke woorden-boek? Het lijkt me geen slecht idee. 
  De echte oplossing ligt natuurlijk in een idee waar al jaren over gesproken wordt en waar nog geen enkele uitgever zich aan heeft gewaagd: De gezamenlijke ontwikkeling van een taal- en een reken-wiskundemethode waarin dezelfde thema’s voor komen. Wil de liefhebber opstaan?
  

  Lianne de Vet
  De auteur is werkzaam als coach en docent wiskunde & didactiek aan de School of Education van de Hogeschool INHOLLAND

   

• Wat kan ik doen als leerlingen moeite hebben met de uitspraak en notatie van getallen?

  Het heeft niet zoveel zin om de uitspraak en notatie van getallen apart te gaan oefenen. Stel het probleem aan de orde als het zich voordoet. Binnen de omstandigheden waarin de fout ontstaat kan hij ook het beste verholpen worden. 
  Als een kind bijvoorbeeld naar 31 moet springen op de getallenlijn en hij maakt een sprong van 10 en drie huppen van 1, dan is het duidelijk dat het kind 31 en 13 door elkaar heeft gehaald. Gebruik de kralenketting om het verschil tussen beide getallen te laten zien en de juiste uitspraak aan de orde te stellen. Schrijf het getal 31 op het bord. Schuif 31 kralen op. Wijs vervolgens van links naar rechts deze kralen aan en zeg tegelijkertijd ‘dertig-en-een’, maak vervolgens een teruggaande beweging van rechts naar links en zeg ‘een-en-dertig’. Kortom: “Het is ‘dertig-en-een’, maar we zeggen ‘een-en-dertig’. Precies verkeerd om!” Herhaal dit met het getal 13. Dat overigens een extra onregelmatigheid heeft omdat we niet ‘drie-tien’, maar ‘dertien’ zeggen. Schrijf ook een stukje van de telrij op het bord, zo zien kinderen dat de notatie in symbolen wel systematisch is.
  Door de regels voor uitspraak en notatie van getallen terloops 'mee te nemen' op het moment dat daar behoefte aan is, en door dit vaak genoeg te herhalen, weten de leerlingen op een gegeven moment hoe de relatie in elkaar steekt. En dan is het geworden wat het moet zijn: een kennisfeit.

  Uit de praktijk:
  Het telkens weer opnieuw benadrukken van de plaats van eenheden en tientallen kan tot verrassende inzichten leiden. Meryem, 7 jaar, had al dikwijls gehoord en gezien hoe uitspraak en notatie zich tot elkaar verhouden. Op een gegeven moment hadden we in de groep de discussie hoe het toch komt dat we bij rijtjes als 41-31-21-1 telkens '11' vergeten. Ze stak haar vinger op en zei opgetogen: “Het is geen 'een-en-tien'.” Met deze opmerking wist ik dat ze op een hoog niveau de systematiek in de telrij had begrepen. Hoera!
  
  Julie Menne
  De auteur is werkzaam als programmaleider/docent rekenen-wiskunde aan de PABO op de Hogeschool van Amsterdam en als practicumleider voor de Nationale Rekendagen bij het Freudenthal Instituut in Utrecht.

   

Oefenen

• Hoe lang moet je doorgaan met het oefenen van de tafels van vermenigvuldiging?

   In groep 4 en 5 worden leerlingen uitgedaagd om met behulp van uitgekiende strategieën de tafels van vermenigvuldiging op te bouwen. Weten ze 2 x 6 = 12, 10 x 6 = 60 en 5 x 6 = 30 (de helft van 10 x 6), dan kunnen ze via verdubbelen, één keer meer en één keer minder de hele tafel reconstrueren. Vervolgens worden de tafels ingeoefend en geautomatiseerd. Op veel scholen ontvangen kinderen die de tafels door elkaar uit het hoofd kunnen opzeggen een tafeldiploma. Zo’n diploma suggereert dat er iets wordt afgesloten maar dat is eigenlijk niet het geval!

   

  Geautomatiseerde (tafel-)kennis moet namelijk worden onderhouden. Zo niet, dan zakt het weg en ontstaat er een probleem in de hogere groepen bij allerlei toepassingen, zoals grote vermenigvuldigingen, delen en breuken.

   

  Het oefenen van de tafels moet daarom gedurende de gehele basisschool doorgaan. Dit oefenen moet het karakter hebben van het onderhouden van de opgedane kennis. Dat betekent dat er zowel aandacht is voor het product (het weetje) als voor het proces.

   

  Bijvoorbeeld:

  6 x 8 = 48 want 5 x 8 = 40 en dan één keer 8 erbij. Juist dat proces kan je helpen het tafelproduct te vinden als je het niet meer paraat hebt, bijvoorbeeld bij toepassingsopgaven.

   

  Maar toepassen van de tafels alléén is als oefening niet genoeg. Zet de tafels regelmatig op het programma van de hoofdrekenlesjes die minstens drie maal per week op het lesrooster staan. Verder zijn er ook geschikte, speelse oefenvormen, zoals het 24-game, tafelbingo en verschillende spelletjes die u vindt op www.rekenweb.nl , zoals ‘Vijf op een rij’ en ‘Kikker’.

   

  Marc van Zanten

  De auteur is werkzaam als docent rekenen/wiskunde en didactiek op de Pabo Edith Stein Onderwijscentrum Twente.

   

• Past oefenen wel in goed realistisch reken-wiskundeonderwijs?

  Vroeger was de rekenles vooral een kwestie van nadoen wat de meester had voorgedaan. Omdat begrip en inzicht hierbij geen rol speelden, moesten de leerlingen eindeloos oefenen en herhalen om hun vaardigheden op peil te houden. Wie iets vergeten was bezat geen middelen om zelf zijn kennis weer op te bouwen.

  In de zeventiger jaren kreeg dit in- en uitzichtloze, mechanistische oefenen een negatief imago. ‘Wat je zelf ontdekt hebt onthoud je veel beter’ werd het motto. Hoe waar dat motto ook is, zelf-ontdekken maakt oefenen niet overbodig. Ook zelf-ontdekte kennis moet beklijven en verankerd worden, moet je vlot en vaardig kunnen oproepen en toepassen. Oefenen is nog steeds nodig! Maar dan wel op een goede manier; met begrip en inzicht! Dus de tafels niet alleen paraat hebben, maar ook weten wat 3 x 5 en 6 x 5 met elkaar te maken hebben. Parate kennis van getallen en getalrelaties moet een stevig netwerk vormen dat als vangnet kan fungeren bij het handig rekenen. 75% van 2,36 euro kan een heel lastig sommetje zijn als je niet weet dat 75% hetzelfde is als ¾ en als je niet weet dat 2,36 dicht bij 2,40 ligt. Slimme weetjes openen deuren die voor anderen gesloten blijven!

  Oefenen kan speels en betekenisvol zijn en het kan er altijd even tussendoor.

  Begin 2009 kunnen scholen hulp krijgen bij het betekenisvol en structureel oefenen van rekenen. De minister heeft geld beschikbaar gesteld voor een landelijk oefenproject van het Freudenthal Instituut: ‘de Nationale Oefenimpuls’ (= zOEFi). Scholen die aan zOEFi meedoen krijgen gratis materialen en begeleiding van experts om dagelijks in elke groep van de basisschool 10 minuten rekenen te oefenen, naast de gewone rekenles. Scholen die hier aan meedoen en zich schoolbreed gedurende een jaar ontwikkelen tot reken-oefenschool zullen merken dat hun leerlingen over meer parate en snelle rekenkennis gaan beschikken. De leerlingen zullen met meer plezier en zelfvertrouwen aan de gewone rekenles deelnemen en hopelijk daardoor beter gaan presteren. Leuk voor de kinderen, maar ook goed voor uw school, want als u de komende jaren zorgt voor een niveauverhoging van uw rekenonderwijs voldoet uw school aan een van de eisen van de Kwaliteitsagenda Primair Onderwijs en het Rapport van de Doorgaande Leerlijnen. Dat is dan alvast één zorg minder. In het najaar krijgen alle Nederlandse basisscholen informatie over zOEFi, en kunnen zij zich aanmelden. Wie zeker wil zijn van deelname kan zich nu alvast als geïnteresseerde aanmelden via koolm@xs4all.nl

  Ik vind het een eer dat ik uitgenodigd ben om aan dit bijzondere project leiding te geven. Ik hoop binnenkort met zo veel mogelijk Nederlandse scholen te gaan bewijzen dat oefenen absoluut past in goed realistisch reken-wiskundeonderwijs.

   

  Marjolein Kool

  Docent rekenen-wiskunde-didactiek op Hogeschool Domstad en per 1 januari 2009 tevens projectleider van zOEFi bij het Freudenthal Instituut.

   

   

• Wat kan productief oefenen allemaal opleveren?

  Oefenen in de rekenles is helemaal ‘hot’. De aankondiging van het zOEFi-project in het vorige nummer van Volgens Bartjensleverde inmiddels al vele aanmeldingen van scholen op. Oefenen is helaas nog vaak een kwestie van saaie rijtjes sommen maken, maar bij productief oefenen verzint een kind zijn eigen opgaven en dat is verre van saai.

  Neem Waku-Waku, de rekenvogel die maar één antwoord kan uitspreken. Welke sommen kun je dus aan hem voorleggen? Een student had hem meegenomen naar haar stageklas en was verbaasd over het effect. Haar leerlingen waren ongekend fanatiek aan de slag gegaan met het antwoord 5 en produceerden zeer veel verschillende sommen. Betere rekenaars kwamen met sommen als 105-100 en zelfs 1000-995. Ook zwakkere leerlingen waagden zich aan grotere sprongen en ervoeren dat, ondanks enkele foute sommetjes, als een succes. Overigens was het interessant om te zien dat sommige sterke rekenaars zich niet aan de grote sprongen waagden.

  Conclusie: productief oefenen is zeer motiverend voor kinderen. Het resultaat geeft veel inzicht in hun niveau, kennis en zelfvertrouwen.

   

  In mijn werk als wiskundeleraar in de onderbouw van het voortgezet onderwijs, ervaar ik nog een andere meerwaarde van productief oefenen. De meeste leerlingen maken daar hun berekeningen met hun rekenmachine, om vervolgens alleen het antwoord in hun schrift te zetten. Eigenlijk rekenen ze dan in de abstracte fase terwijl ze dat gezien hun niveau vaak niet aankunnen. Wanneer ik hen vraag hun denkproces te beschrijven ontmoet ik vaak veel weerstand.

  Bij een productieve oefening gaat het anders. Zo ontaardde een opdracht om een herinrichtingsplan voor het schoolplein te maken in een waar feest. Er werd niet alleen gerekend aan de oppervlakte van de betegeling en het volume van het benodigde zand. Ook aan de aan- en afvoer van materialen (hoeveelheid vrachtwagens) en de inrichtingselementen (betonvolumes en gewichten) werd gerekend.

  Kortom, ook hier zeer gemotiveerde kinderen die veel van hun niveau, kennis en zelfvertrouwen lieten zien, en bovendien nu wel bereid bleken te zijn om hun denkstappen te vertellen en te beschrijven. Daarbij kreeg hun rekenmachine weer de bijrol die hij moet hebben: een verlengstuk van je verstand!

   

  Hans Jonker

   

  Docent wiskunde Veluws College Twello en zelfstandig coach en supervisor.

   

Onderbouw

• Mogen kinderen nu wel of niet met hun vingers rekenen?

  Het is een tijdje glashelder geweest: in de rekenles mag je je vingers niet gebruiken, punt-uit! Kinderen wisten dat en ontwikkelden allerlei manieren om het stiekem toch te doen. Ze tikten stiekem met hun vingers op hun been, of ze legden hun vingers op tafel en probeerden te tellen door er naar te kijken.

  Verbieden heeft weinig zin. Alle kinderen gebruiken in eerste instantie hun vingers bij het rekenen. Vingers zijn sinds mensenheugenis letterlijk het meest voor de handliggende rekenmiddel.

  Na verloop van tijd zouden kinderen wel moeten gaan ontdekken dat dit tellend rekenen allerlei risico's op fouten inhoudt. 'Waar moet ik beginnen met terugtellen?' 'Hoeveel heb ik er nou al bijgeteld?' Tellen in sprongen kan zoveel veiliger en vlugger, maar dan moeten kinderen wel durven vertrouwen op die sprongen.

  Op een dag gaan ze de structuur van getallen herkennen: 8 is een handvol en nog drie.

  Dus is het veel makkelijker om bij 8-5 in een keer die handvol weg te halen.   

   

  Behalve deze vijfstructuur zijn er nog meer getalstructuren.

  8 is immers ook dubbel vier en dat is weer handig te benutten als je vier moet aftrekken.

  Het rekenrek is een mooi middel om allerlei getalstructuren, ook boven de tien, zichtbaar te maken en met flitskaarten in te prenten. Het rekenrek sluit aan bij de vingers die geleidelijk aan worden 'verlaten', structurerend rekenen met het getallenrek gaat immers veel beter. Ook het rekenrek wordt op den duur afgebouwd als de leerlingen gestimuleerd worden de getalbeelden in gedachten voor te stellen. Dan zijn ze toe aan het formele rekenen.

   

  

  Voor meer informatie zie: Treffers, A., M. van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys (1999) Jonge kinderen leren rekenen. Tussendoelen annex leerlijnen. Hele getallen onderbouw basisschool. Groningen, Wolters-Noordhoff. p.31-35

   

   

Realistisch rekenen

• Past oefenen wel in goed realistisch reken-wiskundeonderwijs?

  Vroeger was de rekenles vooral een kwestie van nadoen wat de meester had voorgedaan. Omdat begrip en inzicht hierbij geen rol speelden, moesten de leerlingen eindeloos oefenen en herhalen om hun vaardigheden op peil te houden. Wie iets vergeten was bezat geen middelen om zelf zijn kennis weer op te bouwen.

  In de zeventiger jaren kreeg dit in- en uitzichtloze, mechanistische oefenen een negatief imago. ‘Wat je zelf ontdekt hebt onthoud je veel beter’ werd het motto. Hoe waar dat motto ook is, zelf-ontdekken maakt oefenen niet overbodig. Ook zelf-ontdekte kennis moet beklijven en verankerd worden, moet je vlot en vaardig kunnen oproepen en toepassen. Oefenen is nog steeds nodig! Maar dan wel op een goede manier; met begrip en inzicht! Dus de tafels niet alleen paraat hebben, maar ook weten wat 3 x 5 en 6 x 5 met elkaar te maken hebben. Parate kennis van getallen en getalrelaties moet een stevig netwerk vormen dat als vangnet kan fungeren bij het handig rekenen. 75% van 2,36 euro kan een heel lastig sommetje zijn als je niet weet dat 75% hetzelfde is als ¾ en als je niet weet dat 2,36 dicht bij 2,40 ligt. Slimme weetjes openen deuren die voor anderen gesloten blijven!

  Oefenen kan speels en betekenisvol zijn en het kan er altijd even tussendoor.

  Begin 2009 kunnen scholen hulp krijgen bij het betekenisvol en structureel oefenen van rekenen. De minister heeft geld beschikbaar gesteld voor een landelijk oefenproject van het Freudenthal Instituut: ‘de Nationale Oefenimpuls’ (= zOEFi). Scholen die aan zOEFi meedoen krijgen gratis materialen en begeleiding van experts om dagelijks in elke groep van de basisschool 10 minuten rekenen te oefenen, naast de gewone rekenles. Scholen die hier aan meedoen en zich schoolbreed gedurende een jaar ontwikkelen tot reken-oefenschool zullen merken dat hun leerlingen over meer parate en snelle rekenkennis gaan beschikken. De leerlingen zullen met meer plezier en zelfvertrouwen aan de gewone rekenles deelnemen en hopelijk daardoor beter gaan presteren. Leuk voor de kinderen, maar ook goed voor uw school, want als u de komende jaren zorgt voor een niveauverhoging van uw rekenonderwijs voldoet uw school aan een van de eisen van de Kwaliteitsagenda Primair Onderwijs en het Rapport van de Doorgaande Leerlijnen. Dat is dan alvast één zorg minder. In het najaar krijgen alle Nederlandse basisscholen informatie over zOEFi, en kunnen zij zich aanmelden. Wie zeker wil zijn van deelname kan zich nu alvast als geïnteresseerde aanmelden via koolm@xs4all.nl

  Ik vind het een eer dat ik uitgenodigd ben om aan dit bijzondere project leiding te geven. Ik hoop binnenkort met zo veel mogelijk Nederlandse scholen te gaan bewijzen dat oefenen absoluut past in goed realistisch reken-wiskundeonderwijs.

   

  Marjolein Kool

  Docent rekenen-wiskunde-didactiek op Hogeschool Domstad en per 1 januari 2009 tevens projectleider van zOEFi bij het Freudenthal Instituut.

   

   

Rekendidactiek

• Hoe kan het rekenen met tekorten inzichtelijk worden gemaakt?

  De som 514 – 309 is op te lossen door 500 - 300 en 14 - 9 te doen. Maar in veel realistische reken-wiskundemethoden wordt eind groep 5 het kolomsgewijs aftrekken, oftewel het rekenen met tekorten aangeleerd. Dat ziet er bij dit voorbeeld als volgt uit:

   

  500 – 300 = 200

  10 – 0 = 10

  4 – 9 = –5 200 + 10 – 5 = 205

   

  Een veel voorkomende fout bij een dergelijke aftrekking is dat kinderen de 9 niet van de 4 kunnen aftrekken en daarom de berekening maar omdraaien: 9 eraf 4 gaat namelijk wel. Met deze oplossing hebben ze echter de som veranderd in 519–304.

   

  Hoe kun je kinderen tot het inzicht brengen dat dat niet correct is? Maak er een geldopgave van! ‘In een geldkistje zit €514 en je haalt er €309 uit. Hoeveel euro blijft er in het kistje over?’

  Zorg voor een kistje met speelgeld, namelijk: 5 briefjes van 100 euro, 1 briefje van 10 euro en 4 munten van 1 euro. Nu moeten we 309 euro betalen. We halen er eerst drie honderdjes uit. Dat is geen probleem, maar nu moeten we nog negen euro betalen. Hoe kunnen we negen enen weghalen terwijl er maar vier munten van €1 zijn? Door het speelgeld lopen de kinderen tegen het voldongen feit aan dat ze vijf enen ‘tekort’ komen om de aftrekking mogelijk te maken.

   

  Vaak reageren kinderen verrast als ze dankzij het geld ontdekken dat de aftrekking bij de enen ‘onmogelijk’ is. Het nodigt hen uit tot het vinden van een eigen oplossing! Max bedacht een oplossing die ook veel andere zwakke rekenaars vonden:

  

  Max red eneert dat hij wel vier munten van €1 uit het kistje kan halen. Dat zijn er echter nog niet genoeg. Er moeten er daarna nog vijf af. Hij noteert dit voluit als ‘nog 5 er af halen’. Van de uitkomst 210 trekt hij dus nog 5 af en komt op 205 uit. Max ervaart het tekortenprobleem wel, al gebruikt hij de term ‘tekort’ niet. Later kan hij er op worden aangestuurd de officiële notatie van –5, te gebruiken. Voor Max zal dit geen negatief getal zijn, maar een verkorte notatie van zijn eigen informele oplossing.

   

  Erica de Goeij

  De auteur is werkzaam op het Freudenthal Instituut en op de Julianaschool in Bilthoven.

   

• Is het goed als ik zwakke rekenaars alleen de gewone rijgstrategie leer en niet met geavanceerde rijgstrategieën confronteer?

  Voor zwakke rekenaars is het al heel wat als ze de gewone rijgstrategie voor het optellen en aftrekken onder de 100 onder de knie hebben. Leerkrachten prijzen zich gelukkig als dat lukt, ook al gebruiken de kinderen er soms nog een kralenketting of een lege getallenlijn bij. Na een tijdje biedt de methode een variant op de gewone rijgstrategie aan, ‘het rekenen met een rond getal’, bijvoorbeeld 34 + 49 = 34 + 50 – 1. Veel leerkrachten besluiten hun zwakke rekenaars niet met deze geavanceerde methode te vermoeien en kiezen ervoor om het voor deze kinderen bij de gewone rijgstrategie te laten. Dus 34 + 40 + 6 + 3. Dat is jammer. De varianten op de gewone rijgstrategie zijn namelijk in zekere zin vaak makkelijker: ze vragen minder handelingen en doen een minder groot beroep op het werkgeheugen van de kinderen. Daar staat tegenover dat ze wel een groter beroep doen op het inzicht in getallen, in de relatie tussen getallen. Toch wil ik er voor pleiten om zwakke rekenaars de varianten op de rijgstrategie ook te laten leren. Juist deze kinderen hebben vaak baat bij oplossingen die minder handelingen vragen. Ze moeten dan wel meer begrip en inzicht opbouwen, maar de tijd om dat te verwerven komt vrij door minder te oefenen. Inzicht ontstaat namelijk niet door oefenen, maar door activiteiten te doen die meer begrip van getallen opleveren zoals: • Op verschillende manieren springen naar het getal 49. Dat kan bijvoorbeeld door vier stappen van 10 en negen huppen van 1, maar ook door 5 stappen van 10 en één hupje terug. • We vergelijken de som met situaties waarin je doorschiet en daarom weer een stukje terug moet: we spelen bijvoorbeeld ganzenbord. Je staat op 24 en gooit 9. Slimme spelers springen dan in een keer naar 34, maar moeten dan natuurlijk 1 vakje terug. Met de kralenketting kun je deze handige strategie zichtbaar maken. • Ik rijd voor het eerst de straat binnen waar degene woont bij wie ik op bezoek ga. De nummers beginnen bij 36 en ik moet op 74 zijn. ‘Nog 38 nummers verder’, denk ik. Maar dat gaat toch harder dan ik verwacht. Voor ik het weet sta ik bij 76. Dat is 40 nummers verder! Stukje terug dus!! Er is vast nog meer te bedenken om aan begrip te werken. En dat begrip hebben zwakke rekenaars net zo hard nodig als sterke rekenaars. Dat mag je ze niet onthouden.

   

  Hans Bögemann

  De auteur is werkzaam als onderwijsadviseur bij Eduniek, locatie Maartensdijk.

   

Rekenmachine

• Zijn bovenbouwleerlingen, die weinig geautomatiseerde kennis hebben, geholpen met een rekenmachine?

  De meeste basisscholen hebben voor de leerlingen in de bovenbouw rekenmachientjes in de kast liggen. Die worden uitgedeeld als de methode dat aangeeft. Als de betreffende opgaven gemaakt zijn gaan ze meestal rap weer terug de kast in.

  Toch kan het verstandig zijn om sommige leerlingen op eigen initiatief, zo nodig in elke les, het rekenmachientje te laten gebruiken. Het gaat om leerlingen die over weinig geautomatiseerde vaardigheden beschikken. De elektronische rekenaar helpt hen bij allerlei rekenopgaven waar deze basisvaardigheden een rol spelen. Het gebruik van de rekenmachine stelt hen in staat om contextopgaven over diverse vakonderdelen op bovenbouwniveau te maken. Ook bij oefenopgaven op het gebied van handig rekenen kan de rekenmachine deze leerlingen helpen. Zo kunnen ze mee blijven doen met hun klasgenoten.

   

  Het risico van deze aanpak is dat de leerlingen blind op de uitkomsten op het venster van hun machientje gaan vertrouwen en zich niet meer afvragen of de uitkomst wel kan kloppen. Ze houden dan geen rekening met de mogelijkheid dat ze wellicht verkeerde toetsen hebben ingedrukt.

   

  Deze leerlingen, maar ook hun klasgenoten, moeten leren om het machientje verstandiger te gaan gebruiken. Stel hen vragen als: Heb je voor deze opgave het machientje wel echt nodig? Kun je die opgave niet sneller uit je hoofd uitrekenen? Kun je onderdelen van deze opgave niet sneller uit je hoofd uitrekenen?

   

  Oefeningen waarbij de uitkomsten van opgaven eerst worden geschat en daarna op het machientje worden uitgerekend - denk bijvoorbeeld aan bedragen op een kassabon – bevorderen het bewust en doelmatig gebruik ervan.

   

  Opgaven als:

  25 x 80 =

  6 x 450 =

  1802 – 1298 =

  2275 + 2275 + 2275 + 2275 =

  699 + 699 =

  kan vrijwel iedereen met enige oefening vlotter uit het hoofd uitrekenen dan met elektronische hulp. Dat moeten leerlingen zich bewust worden.

   

  Tevens moeten ze ook voorbeelden zien van berekeningen waarbij inzet van de rekenmachine wel zinvol is en zich bewust worden waarom dat zo is. Zo worden ze voorbereid op het voortgezet onderwijs waar de rekenmachine voortdurend beschikbaar mag zijn. Je ziet leerlingen daar op minstens twee manieren onverstandig met hun rekenmachine werken: allereerst nemen ze meestal de uitkomst zonder nadenken over. Daarnaast zie je middelbare scholieren voor elke berekening het apparaatje uit de tas halen, zelfs voor sommen als 5 + 5 = en 2 x 4 =.

   

  Om dat te voorkomen moeten kinderen op de basisschool al leren hoe ze verstandig met de rekenmachine om kunnen gaan. Dat geldt voor zwakke rekenaars, maar evenzeer voor hun klasgenoten.

   

  Frank van Merwijk

  De auteur is werkzaam als docent rekenen-wiskundedidactiek op de Pabo van de Hogeschool van Arnhem en Nijmegen

   

Rekenmaterialen

• Ik heb allerlei uitdagende rekenmaterialen voor mijn hoogbegaafde leerling uitgezocht, maar hij doet er niets mee. Wat kan ik daaraan doen?

  Hoogbegaafde leerlingen kunnen bang zijn om fouten te maken. Fouten maken moet je leren! Normaalbegaafde leerlingen komen regelmatig in situaties waarin zij de rekenstof moeilijk vinden. Ze kunnen een probleem niet oplossen of ze maken fouten. Door oefenen en herhalen komen zij tot leren en beheersing, tot wiskundig denken en redeneren.

   

  Deze momenten van inspanning om iets te snappen of te leren komen voor hoogbegaafde leerlingen slechts sporadisch voor tijdens het werken aan de reguliere rekenmethode. Zij missen dus ook de leerzame ervaring van beloond worden voor je harde werken. Ze ervaren zelden dat fouten maken en daarop gewezen worden een verrijking kan zijn die je leerproces kan bevorderen.

   

  Om hoogbegaafde leerlingen toch dergelijke ervaringen te geven zoeken leerkrachten de oplossing in ‘extra’ verrijkingswerk. In veel gevallen blijkt deze verrijkingstaak meer van hetzelfde te zijn. Een verrijkingstaak die door een hoogbegaafde leerling foutloos wordt gemaakt, is domweg te eenvoudig en brengt het leerproces niet op gang.

   

  Het aanbieden van extra werk -op passend hoog niveau- kan wel de mogelijkheid tot leren bieden, maar daarmee ook de mogelijkheid tot falen of fouten maken. Dat dit beangstigend kan zijn voor een kind dat normaalgesproken weinig tot geen fouten maakt, kun je je wel voorstellen. Liever verveling dan fouten maken.

   

  Hoe kan een leerkracht met dit ontwijkende gedrag omgaan? Allereerst door een gesprek met de leerling te voeren. Benadruk de bedoeling van dit moeilijkere werk en leg uit hoe leren bij normaalbegaafde en bij hoogbegaafde leerlingen in zijn werk gaat.

  Ten tweede is het raadzaam om de stof van de rekenles te compacten. Zo komt u op een verantwoorde manier tegemoet aan de leerbehoeften van de hoogbegaafde leerling, en komt er meer tijd voor verrijkende activiteiten vrij.

   

  Als een leerling ondanks deze maatregelen nog steeds niet aan zijn verrijkingswerk toe komt, is het soms verstandig om hem met het verrijkende werk te laten beginnen. Ten derde: een leerkracht die zelf zijn fouten durft te laten zien is een goed rolmodel.

   

  Ivanka van Dijk

  De auteur is werkzaam als onderwijsadviseur op het stafbureau van het bovenschools management van de scholen van de Stichting de la Salle

   

   

Rekenmethode

• Hoe kom je tot een verantwoorde keuze vn een reken-wiskundemethode?

  Alle scholen hebben na de komst van de euro een nieuwe methode voor hun rekenwiskundeonderwijs aangeschaft. Dit is nu al weer een tijd geleden, zodat het weer tijd wordt voor veel scholen om zich te oriënteren op een nieuwe methode. Dit voorjaar worden de nieuwe methoden en herziene versies van bestaande methoden (vaak met flinke aanpassingen) gepresenteerd. Welke methode kun je als school het beste kiezen? Zonder op deze vraag in te gaan, willen we wel een algemene handleiding geven bij het kiezen van een geschikte methode.

  Voor veel schoolteams is het kiezen van een nieuwe methode geen eenvoudige opgave. Met het kiezen van een methode leg je je weer voor een jaar of acht vast en dat betekent dat je een dergelijke keuze doordacht wil maken. Alle methoden beloven geïnteresseerde leerlingen, die goede resultaten zullen behalen, die allemaal op hun eigen niveau en in hun eigen tempo kunnen werken, maar alle leerkrachten weten dat er geen methode is, die dat kan waarmaken.

  Een eerste tip is dan ook: neem de tijd en beslis niet overhaast. Hieronder schetsen we verschillende fasen die je aan het keuzeproces kunt onderscheiden.

   

   

  Oriëntatie

  Gebruik de orientatie-fase onder andere om even stil te staan bij de ontwikkelingen in het vakgebied. Er is momenteel veel aandacht voor rekenwiskunde onderwijs in de media. Er wordt melding gemaakt van (te) veel rekenzwakke scholen en teruglopende rekenvaardigheid bij leerlingen. ¹ De vraag of er wel genoeg geoefend wordt, klinkt steeds vaker. Voor er tot de aanschaf van een nieuwe methode wordt over gegaan, is het aan te bevelen om als team hierover met elkaar van standpunten te wisselen. Hoe kijkt men aan tegen deze opmerkingen in de media en hoe is het gesteld met de eigen leerlingen.

  Tip 1: Neem de tijd om tot een verantwoorde keuze te komen.

   

   

   

  Daarnaast is het zeker zo belangrijk de eigen schoolpopulatie goed voor ogen te hebben. Hoe is de teamsamenstelling? Wat hebben de verschillende leerkrachten nodig om goed rekenonderwijs te realiseren (denk hierbij aan steun van een handleiding, is er een rekencoördinator, enz.). Hoe is de schoolorganisatie? Zijn er homogene groepen of combinatiegroepen? Wordt er frontaal klassikaal gewerkt of juist met zelfstandige taken?

   

   

  Beschrijf de gewenste situatie vanuit een analyse van de huidige situatie

  Met een duidelijke kijk op de huidige visie van het team op het rekenwiskundeonderwijs, is het tijd om een sterkte/zwakte analyse van het eigen rekenwiskundeonderwijs te maken. Hiervoor kan de criterialijst gebruikt worden die is bijgevoegd. Waar zitten de knelpunten in de huidige methode en de manier waarop er mee gewerkt wordt? Welke punten zijn juist sterk en moeten weer terug te zien zijn in een volgende methode? Op basis daarvan kunnen eisen gesteld worden aan de wijze waarop je het rekenwiskunde onderwijs inhoud en vorm zou willen geven. Hoe wil je het onderwijs er in de ideale situatie uit laten zien?

   

  3. Wat is er op de markt? Een globale oriëntatie.

  Hoe maak je een doordachte keuze uit deze grote hoeveelheid nieuwe en fors herziene methoden? Het is praktisch gezien niet mogelijk om ze allemaal grondig door te nemen en uit te proberen, maar vergelijken kan wel door middel van een globale screening.

  Hoe komt het geformuleerde eisenpakket terug in de verschillende methoden? Wat zijn bijvoorbeeld de belangrijkste uitgangspunten (visie) van hetgeen op de markt is? Waarmee willen de verschillende methoden zich van elkaar onderscheiden? En, als het om een herziene versie gaat, wat zijn dan de veranderingen en aanpassingen en wat heeft men gehandhaafd? Probeer gezamenlijk tot een antwoord op deze vragen te komen en maak op basis daarvan een keuze voor enkele methoden die aan een grondiger bestudering onderworpen zullen worden. Leg eventuele   vragen, waarop jullie geen antwoord hebben gevonden, voor aan de uitgever of aan een schoolbegeleidingsdienst.

   

   

  4. Nadere bestudering van voorkeursmethoden

  Wanneer de keuze is teruggebracht tot 2 (eventueel 3) methoden die mogelijk in aanmerking komen als nieuwe rekenmethode is het tijd om deze grondig te bestuderen aan de hand van de opgestelde criterialijst.

   

  Tip 2: ·   kies een leerlijn ·   kijk naar de opbouw van de leerlijn in de voorkeursmethoden ·   hoe wordt het aangeboden in de leerlingenboeken ·   is er structuur in te ontdekken ·   staat de leerlijn beschreven in de handleiding

   

   

   

   

   

   

   

  Probeer de methoden in ieder geval uit in de verschillende groepen. Alleen zo kom je er achter of het voor de hele school een goede keuze zou zijn.

  Om een goede indruk te krijgen is het aan te bevelen om:

  ·   meerdere lessen (minimaal 3 weken per methode) uit te voeren,

  ·   daarbij zoveel mogelijk verschillende leerstofonderdelen te gebruiken

  ·   lessen in zoveel mogelijk groepen uit te proberen

  Het is duidelijk dat dit een tijdrovend karwei is, maar je maakt een keus voor minimaal 8 jaar en het is dus van belang om goed voorwerk te doen en vooral ook de tijd te nemen om te ervaren hoe het is om met een bepaalde methode te werken.

  In dit stadium kan het ook een goed idee zijn om contact op te nemen met scholen die al werken met de geselecteerde methoden. Hoewel het bij nieuwe of sterk herziene methoden lastig zal zijn om die te vinden, is het nuttig gebruikerservaringen te horen. Dit zou er voor kunnen pleiten de keuze voor een nieuwe methode niet te snel na de invoering ervan te nemen, maar te wachten tot er scholen zijn die hun ervaringen kunnen delen. Ga met gerichte vragen en kijkpunten eens bij een school in jouw buurt op bezoek.

   

   

  5. Besluitvorming

  Op het moment dat er tot een beslissing overgegaan moet worden, wordt alle verzamelde informatie bijeengebracht. Gebruik de criterialijst om in beeld te brengen waar de sterke en zwakke punten zitten van de voorkeursmethoden; zet de gebruikerservaringen van eigen leerkrachten en/of van andere scholen op een rij; zet vervolgens de sterke en de zwakke   punten van de voorkeursmethoden tegenover elkaar en vergelijk; bespreek hoe de verschillende methoden tegemoet komen aan de visie van de school op rekenwiskundeonderwijs en bepaal welke methode het wordt.  

  Waarna het hele team zich gesteund weet door de beste methode om de rekenwiskunde lessen te verzorgen en de rust hopelijk weer voor 8 jaar terugkeert.

   

  Marije Bakker, Margreeth Mulder, Cathe Notten, An te Selle, Jaap Vedder

  De auteurs zijn bestuursleden van de NVORWO

   

   

   

   

   

  	Lijst met criteria	past goed bij onze visie	neutraal	past niet bij onze visie
  Algemeen	·   uitgangspunten / visie van de methode ·   bruikbaarheid in homogene / combinatiegroepen ·   verhouding leerkrachtgebonden en zelfstandige lessen ·   gebruikte lesmodellen ·   hoeveelheid onderwerpen per les ·   benodigde tijd (per dag, week, jaar)
  Inhoud	·   opbouw in de methode ·   gebruikte strategieën ·   gebruikte (reken)modellen en materialen ·   is het uitdagend voor leerlingen (worden kinderen gestimuleerd om met echte rekenproblemen aan de slag te gaan) ·   ruimte voor eigen inbreng van leerlingen en leerkrachten (interactie, rekengesprekken, etc.) ·   ruimte voor coöperatief leren ·   zijn de verschillende leerstofonderdelen herkenbaar in de methode (getallen, getalbegrip, meten enz.) ·   worden de verschillende leerstofonderdelen gestructureerd en herkenbaar aangeboden ·   de aansluiting tussen de verschillende groepen
  Differentiatie	·   hoe komt dit terug in de methode ·   zijn er mogelijkheden voor leerlingen die meer en minder aankunnen in de methode ·   wordt er tegemoet gekomen aan verschil in tempo bij leerlingen ·   zijn er handreikingen voor gedifferentieerde instructie ·   gaat de methode uit van een preventieve of curatieve aanpak ·   is er sprake van differentiatie in werkvormen
  Evaluatie en leerlingenzorg	·   hoe wordt er getoetst ·   wat wordt er getoetst ·   registratiemethode (worden doelen aangegeven) (digitaal?) ·   worden cruciale momenten in de leerlijnen aangegeven ·   aanwijzingen voor herhaling / remediëring ·   aanwijzingen voor verrijking / verdieping ·   aanwijzingen voor diagnostische gesprekken
  Materialen	·   lay-out ·   hoeveelheid en overzichtelijkheid van de materialen ·   is er een leerlijn overzicht ·   is er een leerstof overzicht ·   is er materiaal voor groep 1 en 2 ·   software (geïntegreerd of additioneel; extra oefening en/of verdieping) ·   is de handleiding overzichtelijk en gebruiksvriendelijk ·   hoeveelheid kopieermateriaal en verbruiksmateriaal ·   zijn er aanvullende materialen beschikbaar (spellen)

   

   

Rekenniveau

• Leidt een toets rekenvaardigheid voor PABO-studenten tot betere (reken)leraren?

  Het verplicht stellen van een toets rekenvaardigheid lijkt een logische reactie op de geconstateerde problemen rond de rekenvaardigheid van aankomende Pabostudenten. Maar de getoetste vaardigheid moet wel passen bij het doel van de opleiding. 
  Dat stelt hoge eisen aan de toets. Er bestaat immers het gevaar van het trainen voor de toets. Dat zou ertoe kunnen leiden dat de studenten zich trucs en een trucmatige attitude eigen maken, die een inzichtelijke benadering in de weg staan. 
  
  Laat ik dit ill ustreren met een opgave die in de media circuleert: “Hoeveel is 16 2/3 % van €1860,-?” Verwacht wordt dat de student weet dat 16 2/3 % overeenkomt met 1/6 deel, waarbij 1860 gedeeld door zes uiteraard mooi uitkomt. Dit is typisch het toetsen van schoolse kennis, de kans dat je in de realiteit buiten de school ooit precies 16 2/3 % van iets moet uitrekenen is nihil. 
  

  Nuttiger is een opgave als: “De reparatie kost € 1727,50 ex. BTW. Hoeveel bedraagt de BTW die er nog bijkomt ongeveer?” Ofwel, “Wat is 19% van € 1727,50 ongeveer?” Oplossing: Van die negentien kun je voor het gemak twintig maken. Twintig procent is 1/5, ofwel 2/10, deel, dus gaat het om ongeveer twee keer € 172,75, zeg, ongeveer 350 euro.

   

  Voor schattend rekenen hoef je slechts een paar mooie p ercentages te weten, zoals 50%, 25% en 33 1/3 %. Van daaruit kun je gemakkelijk verder komen. Bij het vroegere BTW-percentage van 17 1/2 % bijvoorbeeld, had je kunnen bedenken dat 17 1/2 ongeveer de helft van 33 1/3 is.

   

  Het leggen van dergelijke relaties vraagt een ander soort rekenvaardigheid dan de schoolse rekentrucjes. Een leraar basisonderwijs die zijn leerlingen wil leren hoe ze inzichtelijk kunnen rekenen moet zelf inzicht hebben en handige getalrelaties kunnen leggen. Wat de studenten uiteindelijk leren, wordt bepaald door hoe ze zich op de toets voorbereiden. En dat zal sterk afhangen van de inhoud van de toets – en van de begeleiding die de studenten krijgen bij de voorbereiding op die toets. Deze twee factoren zullen bepalend zijn voor het antwoord op de vraag of de rekenvaardigheidstoets een positieve bijdrage levert aan de opleiding van (reken)leraren.

   

  Koeno Gravemeijer

  De auteur is werkzaam op het Freudenthal Instituut en bijzonder hoogleraar van de NVORWO

   

   

Rekenstrategie

• Is het goed als ik zwakke rekenaars alleen de gewone rijgstrategie leer en niet met geavanceerde rijgstrategieën confronteer?

  Voor zwakke rekenaars is het al heel wat als ze de gewone rijgstrategie voor het optellen en aftrekken onder de 100 onder de knie hebben. Leerkrachten prijzen zich gelukkig als dat lukt, ook al gebruiken de kinderen er soms nog een kralenketting of een lege getallenlijn bij. Na een tijdje biedt de methode een variant op de gewone rijgstrategie aan, ‘het rekenen met een rond getal’, bijvoorbeeld 34 + 49 = 34 + 50 – 1. Veel leerkrachten besluiten hun zwakke rekenaars niet met deze geavanceerde methode te vermoeien en kiezen ervoor om het voor deze kinderen bij de gewone rijgstrategie te laten. Dus 34 + 40 + 6 + 3. Dat is jammer. De varianten op de gewone rijgstrategie zijn namelijk in zekere zin vaak makkelijker: ze vragen minder handelingen en doen een minder groot beroep op het werkgeheugen van de kinderen. Daar staat tegenover dat ze wel een groter beroep doen op het inzicht in getallen, in de relatie tussen getallen. Toch wil ik er voor pleiten om zwakke rekenaars de varianten op de rijgstrategie ook te laten leren. Juist deze kinderen hebben vaak baat bij oplossingen die minder handelingen vragen. Ze moeten dan wel meer begrip en inzicht opbouwen, maar de tijd om dat te verwerven komt vrij door minder te oefenen. Inzicht ontstaat namelijk niet door oefenen, maar door activiteiten te doen die meer begrip van getallen opleveren zoals: • Op verschillende manieren springen naar het getal 49. Dat kan bijvoorbeeld door vier stappen van 10 en negen huppen van 1, maar ook door 5 stappen van 10 en één hupje terug. • We vergelijken de som met situaties waarin je doorschiet en daarom weer een stukje terug moet: we spelen bijvoorbeeld ganzenbord. Je staat op 24 en gooit 9. Slimme spelers springen dan in een keer naar 34, maar moeten dan natuurlijk 1 vakje terug. Met de kralenketting kun je deze handige strategie zichtbaar maken. • Ik rijd voor het eerst de straat binnen waar degene woont bij wie ik op bezoek ga. De nummers beginnen bij 36 en ik moet op 74 zijn. ‘Nog 38 nummers verder’, denk ik. Maar dat gaat toch harder dan ik verwacht. Voor ik het weet sta ik bij 76. Dat is 40 nummers verder! Stukje terug dus!! Er is vast nog meer te bedenken om aan begrip te werken. En dat begrip hebben zwakke rekenaars net zo hard nodig als sterke rekenaars. Dat mag je ze niet onthouden.

   

  Hans Bögemann

  De auteur is werkzaam als onderwijsadviseur bij Eduniek, locatie Maartensdijk.

   

Schattend rekenen

• Waarom is schattend rekenen belangrijk?

  Neem als voorbeeld het volgende rekenprobleem: ‘Ik heb een briefje van 5 euro bij me. In de winkel zie ik een pakje Pokemon-kaarten van 3,95 euro en een stickervel van 99 eurocent. Kan ik beide cadeautjes kopen? Om dit probleem op te lossen hoef je niet precies te rekenen, maar kun je volstaan met schatten.

   

  Schatten is geen gokken, ongericht raden. Nee, schatten is beredeneren. Je heb inzicht in getallen nodig, je moet relaties tussen getallen kennen en de telrij beheersen om met passende afrondingen te kunnen werken. Je wordt uitgedaagd om flexibel te rekenen en je rekenvaardigheden toe te passen. Voor schatten heb je lef nodig om af te zien van details en genoegen te nemen met ongeveer rekenen. Als je het vaker doet gaat het wennen, word je er meer bedreven in en krijg je er zelfs lol in.

   

  Schatten is zinvol. In de rekenboeken worden leerlingen af en toe uitgenodigd om schattend tot een oplossing te komen, of een antwoord verkregen via de rekenmachine, schattend te controleren. Dat is echter niet genoeg. Je kunt je rekenonderwijs verrijken door kinderen regelmatig rekenproblemen voor te leggen die uitnodigen tot schatten. Soms als variatie van een opgave uit een rekenboek, of los van het rekenboek, voor even tussendoor.

   

  Je kunt soms opgaven uit de krant halen: Klopt het dat…..? of opgaven gebruiken waarin informatie ontbreekt.

  Hoe hoog is de boom?

  Hoeveel vogels zie je in de lucht?

  Hoeveel meter stof hebben we nodig om voor 5 kinderen een broek te maken?  

  Het gaat om problemen die voortkomen uit het dagelijks leven. Met schatten krijgen kinderen grip op situaties in hun wereld. Schatten draagt bij aan de maatschappelijke redzaamheid van kinderen.

   

  Saskia van Dongen

  De auteur is werkzaam als adviseur bij Marant | Adviseurs in leren & ontwikkeling.
  
  

   

   

   

   

   

Staartdelingen

• Waarom is de staartdeling uit het onderwijs verdwenen?

  De staartdeling is niet uit het onderwijs verdwenen! Aan het eind van de basisschool hebben kinderen voldoende inzicht om het beruchte staartdelingalgoritme te kunnen begrijpen en te kunnen gebruiken, maar de weg er naar toe is wel veranderd.

  Delen wordt tegenwoordig via handig herhaald aftrekken geïntroduceerd. Dit is een inzichtelijke voorfase van het uiteindelijke algoritme. Het is opmerkelijk dat de vraag naar het verdwijnen van het algoritme steeds weer wordt gesteld. Volgens mij liggen verschillende misvattingen aan deze vraag ten grondslag.

  Ik noem er enkele:

  -   Het beeld van rekenen-wiskunde: Het gaat bij rekenen toch om het leren uitvoeren van regels! Kinderen moeten leren om procedures foutloos uit te voeren.

  -   Wiskunde is moeilijk: Je moet een genie zijn om zelf wiskunde te ontwikkelen. Op school moeten we niet proberen om wiskunde te laten begrijpen. Geef die kinderen gewoon het algoritme.

  -   Inzicht komt na kennis: Je moet eerst goed kunnen delen, voordat je begrijpt hoe het staartdelingalgoritme precies werkt.

  -   De persoonlijke geschiedenis: Ik heb op school de staartdeling moeten leren. Ik heb er lang over gedaan en kan hem nu foutloos uitvoeren. Dan moeten de huidige leerlingen het toch ook leren?

  -   Een rekenprobleem kost tien minuten: Wiskundige problemen die je niet in korte tijd kunt oplossen zijn gewoonweg te moeilijk. Het mooie van het staartdelingalgoritme is dat je ieder deelprobleem in enkele minuten kunt oplossen.

   

  Deze misvattingen gaan over ons beeld van rekenen, over onze opvattingen over leren. Zien we kinderen als uitvoerders van regels of als kleine wiskundigen die zelf strategieën uitvinden en met elkaar praten over hun begrip van de wiskunde? De discussie gaat ook over de relatie tussen kennis en inzicht. Impliciet wordt verondersteld dat iemand die inzicht in rekenen benadrukt, het belang van kennis en basisvaardigheden ontkent.

  Echter, het kunnen spelen met getallen, het bezitten van een zekere getalsvaardigheid, het geautomatiseerd hebben van rekenfeiten vormen een basis om over rekenstrategieën te kunnen praten en deze te kunnen ontwikkelen.

   

  Maarten Dolk

  De auteur is lector ‘geïnspireerd leren’ bij de hogescholen Drenthe, Helicon en Zuyd, en medewerker van het Freudenthal Instituut.

   

Sterke rekenaars

• Kan ik de betere rekenaars vooruit laten werken in het rekenboek?

  Het is verstandiger om betere rekenaars niet vooruit te laten werken, maar voor hen binnen een blok te differentiëren. Dat wil zeggen dat per blok voor hen meer uitdaging en uitbreiding wordt gezocht. 
  Als betere rekenaars gaan doorwerken in de methode levert dat veel nadelen op. 
  Allereerst wordt het probleem niet opgelost maar doorgeschoven naar het eind van de basisschool. Er zal dan voor een langere periode naar vervangende en uitdagende leerstof gezocht moeten worden, wat niet eenvoudig is.

  Bovendien vinden de meeste kinderen het niet motiverend om langdurig een apart programma door te werken.

  Verder is er het gevaar dat deze kinderen bij nieuwe onderwerpen onvoldoende instructie krijgen, wat kan leiden tot ongewenste en weinig efficiënte oplossingsmanieren. En een uitwisseling van oplossingsmanieren met andere kinderen behoort bij deze manier van werken al helemaal niet tot de mogelijkheden, terwijl dat bij differentiatie binnen het blok wel goed mogelijk is.

  Tenslotte wordt de inbreng van deze kinderen bij nieuwe onderwerpen gemist. Ze hebben vaak originele ideeën waar ook andere kinderen van kunnen profiteren. Ook de betere rekenaars leren van de interactie met andere kinderen. Ze moeten zich verantwoorden voor hun ideeën: Waarom denk je dat? Leg dat eens uit? Enzovoort. Dat zet hen opnieuw aan het denken.

  Sjoerd Huitema

   

Tafels

• Hoe lang moet je doorgaan met het oefenen van de tafels van vermenigvuldiging?

   In groep 4 en 5 worden leerlingen uitgedaagd om met behulp van uitgekiende strategieën de tafels van vermenigvuldiging op te bouwen. Weten ze 2 x 6 = 12, 10 x 6 = 60 en 5 x 6 = 30 (de helft van 10 x 6), dan kunnen ze via verdubbelen, één keer meer en één keer minder de hele tafel reconstrueren. Vervolgens worden de tafels ingeoefend en geautomatiseerd. Op veel scholen ontvangen kinderen die de tafels door elkaar uit het hoofd kunnen opzeggen een tafeldiploma. Zo’n diploma suggereert dat er iets wordt afgesloten maar dat is eigenlijk niet het geval!

   

  Geautomatiseerde (tafel-)kennis moet namelijk worden onderhouden. Zo niet, dan zakt het weg en ontstaat er een probleem in de hogere groepen bij allerlei toepassingen, zoals grote vermenigvuldigingen, delen en breuken.

   

  Het oefenen van de tafels moet daarom gedurende de gehele basisschool doorgaan. Dit oefenen moet het karakter hebben van het onderhouden van de opgedane kennis. Dat betekent dat er zowel aandacht is voor het product (het weetje) als voor het proces.

   

  Bijvoorbeeld:

  6 x 8 = 48 want 5 x 8 = 40 en dan één keer 8 erbij. Juist dat proces kan je helpen het tafelproduct te vinden als je het niet meer paraat hebt, bijvoorbeeld bij toepassingsopgaven.

   

  Maar toepassen van de tafels alléén is als oefening niet genoeg. Zet de tafels regelmatig op het programma van de hoofdrekenlesjes die minstens drie maal per week op het lesrooster staan. Verder zijn er ook geschikte, speelse oefenvormen, zoals het 24-game, tafelbingo en verschillende spelletjes die u vindt op www.rekenweb.nl , zoals ‘Vijf op een rij’ en ‘Kikker’.

   

  Marc van Zanten

  De auteur is werkzaam als docent rekenen/wiskunde en didactiek op de Pabo Edith Stein Onderwijscentrum Twente.

   

• Moeten de tafels nog wel gestampt worden?

  Vroeger was het heel normaal: rijen tafels moesten we leren. Bij ons thuis gebeurde dat onder de afwas, dan had je toch niets beters te doen. Ik me nog opdreunen: 1 x 6 = 6, 2 x 6 = 12, 3 x 6 = … Saai, maar het werkte wel. Nog steeds heb ik alle producten van de tafels goed in mijn hoofd paraat.

   

  In het huidige realistische reken-wiskundeonderwijs komt het opdreunen nagenoeg niet meer voor. Kinderen leren tegenwoordig wel hoe ze met allerlei handige strategieën de (deel)tafels snel kunnen oplossen. Inzichtelijk en snel strategiegebruik is natuurlijk belangrijk, maar het is ook nodig dat kinderen op een gegeven moment antwoorden op vermenigvuldigingen snel, zonder belasting van het werkgeheugen, kunnen vinden in hun hoofd. Ze moeten antwoorden op simpele tussenopgaven paraat hebben om de grote lijn in moeilijke sommen goed vast te kunnen houden.

   

  Onder simpele tussenopgaven versta ik het optellen en aftrekken tot 20 en de tafels en deeltafels tot en met 10. In plaats het van het ‘ouderwetse’ opdreunen, zijn er nu allerlei spelletjes waarmee leerlingen het belangrijke basismateriaal in hun hoofd kunnen prenten. Denk bijvoorbeeld aan het gebruik van dobbelstenen (liefst 10-zijdig, maar gewone dobbelstenen zijn ook geschikt), waarbij de twee getallen op de dobbelstenen opgeteld moeten worden. Of het gebruik van kaartjes met getallen met getallen erop, die één voor één omgedraaid moeten worden, waarna er bewerkingen met de getallen uitgevoerd moeten worden. Flitskaartjes kunnen ingezet worden, met aan de ene kant de som en aan de andere kant het antwoord. Op deze manier zijn de uitkomsten goed te controleren.

   

  Voorwaarde bij alle spelletjes is dat er een tijdsaspect aan verbonden is, zodat het echt om de snelheid gaat. Hiervoor kun je gebruik maken van een zandloper en een scorekaart waarop steeds het aantal sommen binnen de tijd gemaakt moet worden. Of een stopwatch met scoregrafiek, waarop bijgehouden kan worden hoe het tempo van de leerling vordert. Voor meer voorbeelden is er onder andere het Remediërend Rekenpakket Automatiseren van de Zuid-Vallei, onderdeel van Giralis, (www.remediering.nl ).

   

  Jolanda Jager-van Eck

   

   

  
  

   

   

   

   

   

  Afbeelding: www.kennislink.nl

   

Volgens Bartjens - Tijdschrift

• Waar komt de naam Volgens Bartjens eigenlijk vandaan?

  De  naam Volgens Bartjens verwijst met een knipoog naar de bekende uitdrukking: ‘Het klopt volgens Bartjens!’ die mensen wel gebruiken als ze zeker zijn van hun zaak. Maar tegelijkertijd klinkt ook de naam van de beroemde zeventiende-eeuwse rekenmeester Willem Bartjens er in door. Willem Bartjens liet in 1604 het rekenboek ‘De Cijfferinghe’ verschijnen. Dat boek was zo succesvol dat het bijna tweeënhalve eeuw lang in het onderwijs gebruikt is. Zoiets is tegenwoordig ondenkbaar. Maar één ding is door de eeuwen heen onveranderd gebleven. Willem Bartjens streefde naar goed rekenonderwijs en dat doen wij tegenwoordig nog steeds. Hopelijk kan het nieuwe/vertrouwde tijdschrift Volgens Bartjens daar een steentje aan bijdragen.

   

  

   

• Ik wil een artikel schrijven voor Volgens Bartjens. Hoe pak ik dat aan?

  Een regelmatig terugkerende vraag op de redactie betreft het schrijven van artikelen voor Volgens Bartjens… door leerkrachten en studenten. Bij Veelgestelde Vragen wil ik er daarom graag op ingaan.

  Artikelen over rekenen in de ruimste zin van het woord zijn van harte welkom op de redactie. Of het nou om een stageproject gaat, een lesactiviteit in een groep, een didactisch onderzoek, in principe komt alles voor plaatsing in aanmerking. Natuurlijk kunnen er redenen zijn waarom een artikel niet (direct) geplaatst kan worden. De belangrijkste hiervan is, dat rekenen niet het belangrijkste onderwerp in het artikel is. Vaak is daar met enig herschrijven wel wat aan te doen. Herschrijven kan ook nodig zijn als de lijn van een betoog niet goed wordt vastgehouden.

  Een inventarisatie van het archief van Volgens Bartjens… laat zien dat er veel geschreven wordt over: het hele domein meetkunde, oppervlakte, tafels en tafeldidactiek, zwakke rekenaars. Betrekkelijk weinig wordt er geschreven over inhoud, temperatuur, schatten, grafieken en tabellen, het gebruik van digitale schoolborden bij rekenen, sterke rekenaars. De redactie houdt zich aanbevolen.

   

  Praktische informatie

  Artikelen moeten aangeleverd worden in een worddocument, lettertype Times 12. Foto’s en illustraties (JPG, MBP, PDF), tabellen en grafieken (mogen ook in Word) apart bijleveren in aparte bestanden. In de tekst aangeven waar ongeveer de illustratie, tabel of foto moet komen. Op een pagina van Volgens Bartjens passen ongeveer vijfhonderd woorden. Voorzie het aangeleverde artikel van naam, e-mailadres en een postadres, zodat we je (bij plaatsing) een presentexemplaar kunnen sturen. Mail uw artikel naar hoofdredacteur Cathe Notten  

   

  hoofdredacteur Cathe Notten

  
  

   

   

• Kan ik een proefnummer aanvragen?

  Bij de uitgever kunt u een proefnummer van Volgens Bartjens aanvragen. Hieraan zijn wel kosten verbonden.

  Meer weten? Klik dan hier.

   

• Wat moet ik doen als ik een vraag over reken-wiskundeonderwijs heb?

  U kunt een paar dingen doen. 
  Allereerst kunt u onderzoeken of uw vraag misschien al eerder door iemand anders is gesteld. Raadpleeg hiervoor de andere lezersvragen op deze site of breng een bezoek aan Rekenfaq ( www.fi.uu.nl/rekenweb/rekenfaq ).

  Heeft u het antwoord hierna nog niet gevonden, dan kunt u uw vraag naar de webredactie vanVolgens Bartjens... mailen ( webredactie@nvorwo.nl ) en u krijgt zo spoedig mogelijk een antwoord. 
  

   

• Wat is de relatie tussen NVORWO en Volgens Bartjens?

  De NVORWO is de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskundeonderwijs. Het is een algemene en onafhankelijke vakvereniging ter bevordering van het reken-wiskundeonderwijs aan leerlingen in de leeftijd van 4 tot 14 jaar. De NVORWO biedt onderdak aan alle mensen die het reken-wiskundeonderwijs in Nederland ter harte gaat ongeacht hun achtergronden en opvattingen: opleiders, begeleiders, onderzoekers, ontwikkelaars, leerkrachten en Pabo-studenten. 
  Voor verdere informatie over de NVORWO en hoe u lid kunt worden van deze vereniging kunt u kijken op de pagina's van de NVORWO op deze site.

  De NVORWO geeft twee tijdschriften uit. Het ene heet Panamapost, waarin u vooral artikelen kunt vinden over onderzoek en nascholing op het gebied van reken-wiskundeonderwijs. Het andere tijdschrift is Volgens Bartjens. In dit blad en de bijbehorende website vindt u informatie van en over de praktijk van het rekenonderwijs op de basisschool. Door middel van Volgens Bartjens hoopt de NVORWO het rekenonderwijs op de Nederlandse basisscholen nog beter te maken dan het al is.

   

• Wat zijn de kosten van een abonnement op Volgens Bartjens?

  Voor informatie over abonnementskosten en -mogelijkheden klikt u hier

   

Volgens Bartjens - Website

• Wat moet ik doen als ik een vraag over reken-wiskundeonderwijs heb?

  U kunt een paar dingen doen. 
  Allereerst kunt u onderzoeken of uw vraag misschien al eerder door iemand anders is gesteld. Raadpleeg hiervoor de andere lezersvragen op deze site of breng een bezoek aan Rekenfaq ( www.fi.uu.nl/rekenweb/rekenfaq ).

  Heeft u het antwoord hierna nog niet gevonden, dan kunt u uw vraag naar de webredactie vanVolgens Bartjens... mailen ( webredactie@nvorwo.nl ) en u krijgt zo spoedig mogelijk een antwoord. 
  

   

• Wat is de relatie tussen NVORWO en Volgens Bartjens?

  De NVORWO is de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskundeonderwijs. Het is een algemene en onafhankelijke vakvereniging ter bevordering van het reken-wiskundeonderwijs aan leerlingen in de leeftijd van 4 tot 14 jaar. De NVORWO biedt onderdak aan alle mensen die het reken-wiskundeonderwijs in Nederland ter harte gaat ongeacht hun achtergronden en opvattingen: opleiders, begeleiders, onderzoekers, ontwikkelaars, leerkrachten en Pabo-studenten. 
  Voor verdere informatie over de NVORWO en hoe u lid kunt worden van deze vereniging kunt u kijken op de pagina's van de NVORWO op deze site.

  De NVORWO geeft twee tijdschriften uit. Het ene heet Panamapost, waarin u vooral artikelen kunt vinden over onderzoek en nascholing op het gebied van reken-wiskundeonderwijs. Het andere tijdschrift is Volgens Bartjens. In dit blad en de bijbehorende website vindt u informatie van en over de praktijk van het rekenonderwijs op de basisschool. Door middel van Volgens Bartjens hoopt de NVORWO het rekenonderwijs op de Nederlandse basisscholen nog beter te maken dan het al is.

   

• Waar staan de Rekenpuzzels en Breinkrakers op deze site?

  Ter ere van haar 20 en 25-jarig bestaan heeft de NVORWO twee jubileumuitgaven uitgebracht: De Rekenpuzzels en Breinkrakers. De opgaven en antwoorden van beide uitgaven kunt u hier vinden.

   

Wat is het verschil tussen....

• Wat is het verschil tussen automatiseren en memoriseren?

  Automatiseren en memoriseren zijn begrippen die in de basisschool geregeld door elkaar gebruikt worden. Zowel bij automatiseren als bij memoriseren gaat het om leerprocessen die gericht zijn op het snel reproduceren van een leerresultaat. Toch zijn er principiële verschillen.

   

  Een leerling, die de opgave 6 + 7 leert via memoriseren, leert de opgave met bijbehorend antwoord gewoon uit zijn hoofd. Op dezelfde manier waarop hij ook bijvoorbeeld landen met hoofdsteden of Franse woordjes onthoudt. Veel oefenen, veel herhalen. De som wordt opgeslagen in het geheugen (auditief en/of visueel) en de leerling kan het antwoord binnen enkele seconden reproduceren.

   

  Binnen het realistisch reken- en wiskundeonderwijs wordt de nadruk gelegd op actief inzichtelijk leren. In dit leerproces construeert de leerling in een eerste verkennende fase een eigen aanpak, eigen strategieën. De leerling bedenkt bijvoorbeeld dat 6 + 7 via de vijfstructuren van 6 (5+1) en 7 (5+2) opgelost kan worden en vindt het antwoord dan via (5+5) en dan nog (1 + 2). In interactie met leerkracht en medeleerlingen worden de ontwikkelde strategieën vergeleken en stapt de leerling misschien over naar een andere strategie (bijvoorbeeld 6+7 = ‘dubbel 6 +1’). Hij leert misschien wel verschillende strategieën flexibel toe te passen.

   

  Als de leerling zich met inzicht één of enkele strategieën heeft eigen gemaakt zal hij de betreffende strategie kunnen oefenen, c.q. automatiseren. Doordat de leerling het weggetje van de gekozen strategie steeds weer langsloopt, zal de snelheid, waarmee hij de basisopgaven maakt, steeds hoger worden. Op een gegeven moment gaat dat zo snel dat de leerling nauwelijks meer aan de strategie denkt. De handeling is dan geautomatiseerd.

   

  Het eindresultaat lijkt voor de waarnemer hetzelfde als bij gememoriseerde kennis, maar desgevraagd kan de leerling de onderliggende strategie wel reproduceren. In de rekenles is geautomatiseerde kennis veel waardevoller dan gememoriseerde kennis.

   

  Hans Wolthuis

  De auteur is werkzaam op Saxion Hogescholen, Deventer

   

• Wat is het verschil tussen een getal en een cijfer?

  Een getal

  Een getal duidt een veelheid ofwel aantal van iets aan, maar kan ook de rangorde of een naam aan iets geven. Dit is afhankelijk van de context. Getallen manifesteren zich in allerlei alledaagse contexten en krijgen daardoor verschillende betekenissen voor kinderen. Denk aan een hardloopwedstrijd. Kinderen van begin groep 5 weten bijvoorbeeld:

  - dat een rugnummer naar een bepaalde atleet verwijst (naamgetal);

  - dat een groepje uit een bepaalde hoeveelheid lopers bestaat (aantal);

  - dat een volgorde van aankomst wordt vastgesteld (telgetal);

  - dat de gelopen afstand wordt aangeduid met een lengtemaat (meetgetal).

   

  Getallen kunnen we lezen en schrijven met woorden bijvoorbeeld ‘vijfentwintig’, maar moeten we ook kunnen lezen en schrijven in een met elkaar afgesproken rekentaal. Daarvoor gebruiken we cijfers.

   

   Een cijfer

  Een cijfer is eigenlijk alleen maar een teken ofwel een symbool voor iets.

  Nul, een, twee, drie, ........ negen, schrijven we in de rekentaal met de cijfers ofwel de symbolen/tekens 0, 1, 2, 3, ....... 9. Met die cijfers schrijven we de getallen.

  Zo is 697 bijvoorbeeld een getal van drie cijfers. Opgemerkt moet nog worden dat de cijfers van 0 tot en met 9 zowel een cijfer als een getal kunnen aanduiden.

  Als met 7 bijvoorbeeld het aantal dagen van de week bedoeld wordt of de leeftijd van een kind, dan is 7 een getal.

  Maar leert een kleuter dat bij het woord zeven het symbool 7 hoort dan leert het een cijfer(-symbool) herkennen.

  Kinderen van groep 3 leren de tekens van 0 tot en met 9 op de juiste wijze schrijven. Als een kind probeert om een mooie 7 te noteren, dan is het dus bezig met het leren schrijven van een cijfer(-symbool).

   

  Jacqueline van de Ven

  De auteur is werkzaam als Intern Begeleider op basisschool Het Palet te Hapert.

   

• Wat is het verschil tussen een verhaaltjessom en een contextopgave?

  Een verhaaltjessom – ook wel tekstopgave genoemd - heet in het Engels word problem. Een contextopgave zou je kort en goed een world problem kunnen noemen. En daarmee is het onderscheid precies onder woorden gebracht.

  
  

  Beschouw de volgende opgaven:

   1)   Alex heeft acht knikkers en Yvonne zes. Hoeveel knikkers heeft Alex meer dan Yvonne?

   2)   Casper is acht jaar en Olivier zes. Hoe oud was Casper toen Olivier werd geboren?

  
  

  Het antwoord op de eerste vraag is precies bepaald. Het antwoord op de tweede opgave is dat ook als je aanneemt dat de jongens op dezelfde dag jarig zijn. Maar die aanname staat niet expliciet in de tekst. Dus als je de reële context – de werkelijkheid achter de tekst - in de berekening betrekt hoeft de uitkomst niet per se twee te zijn.

  Opgave 2 als verhaaltjessom is dus in feite de ingeklede aftreksom 8 – 6 =…, maar als contextopgave opgevat, waarin de werkelijkheid niet tussen haakjes staat, is de oplossing niet zondermeer 8 – 6 =…

  Soms is niet duidelijk of een opgave als ingeklede rekensom of als contextprobleem geïnterpreteerd moet worden.

  
  

  Neem de volgende toetsopgave:

   3)   139 balpennen worden verpakt in doosjes. In één doosje kunnen 8 balpennen. Hoeveel doosjes zijn er nodig?

  
  

  De gevraagde uitkomst in de betreffende toetsopgave was 17 doosjes en een restant van 3 pennen. Maar het antwoord ‘18 doosjes’ is ook goed te verdedigen: het hangt van de ‘verpakking’, de context, af wat hier past.

  In het realistische rekenonderwijs spreekt men vaak over contextproblemen in plaats van verhaaltjessommen, omdat de werkelijkheid achter het verhaaltje niet op voorhand buitengesloten wordt. Of anders gezegd: ook het betrekken van die werkelijkheid in de rekenkundige verwerking van het vraagstuk behoort tot de kern van de reken-wiskundige activiteit.

  In welk geval is Casper één jaar toen Olivier werd geboren, en wanneer twee? In welke situatie is 17 doosjes het beste antwoord, en wanneer 18? Dergelijke vragen zijn in deze opgaven van essentiële betekenis.

  Aan het voorgaande moet direct toegevoegd worden dat verhaaltjessommen hun waarde behouden, net als uiteraard de pure rekensommen en wiskundige problemen.

   

  Adri Treffers

   

  De auteur is (oud)medewerker van het Freudenthal Instituut.

   

   

Zwakke rekenaars

• Is het goed als ik zwakke rekenaars alleen de gewone rijgstrategie leer en niet met geavanceerde rijgstrategieën confronteer?

  Voor zwakke rekenaars is het al heel wat als ze de gewone rijgstrategie voor het optellen en aftrekken onder de 100 onder de knie hebben. Leerkrachten prijzen zich gelukkig als dat lukt, ook al gebruiken de kinderen er soms nog een kralenketting of een lege getallenlijn bij. Na een tijdje biedt de methode een variant op de gewone rijgstrategie aan, ‘het rekenen met een rond getal’, bijvoorbeeld 34 + 49 = 34 + 50 – 1. Veel leerkrachten besluiten hun zwakke rekenaars niet met deze geavanceerde methode te vermoeien en kiezen ervoor om het voor deze kinderen bij de gewone rijgstrategie te laten. Dus 34 + 40 + 6 + 3. Dat is jammer. De varianten op de gewone rijgstrategie zijn namelijk in zekere zin vaak makkelijker: ze vragen minder handelingen en doen een minder groot beroep op het werkgeheugen van de kinderen. Daar staat tegenover dat ze wel een groter beroep doen op het inzicht in getallen, in de relatie tussen getallen. Toch wil ik er voor pleiten om zwakke rekenaars de varianten op de rijgstrategie ook te laten leren. Juist deze kinderen hebben vaak baat bij oplossingen die minder handelingen vragen. Ze moeten dan wel meer begrip en inzicht opbouwen, maar de tijd om dat te verwerven komt vrij door minder te oefenen. Inzicht ontstaat namelijk niet door oefenen, maar door activiteiten te doen die meer begrip van getallen opleveren zoals: • Op verschillende manieren springen naar het getal 49. Dat kan bijvoorbeeld door vier stappen van 10 en negen huppen van 1, maar ook door 5 stappen van 10 en één hupje terug. • We vergelijken de som met situaties waarin je doorschiet en daarom weer een stukje terug moet: we spelen bijvoorbeeld ganzenbord. Je staat op 24 en gooit 9. Slimme spelers springen dan in een keer naar 34, maar moeten dan natuurlijk 1 vakje terug. Met de kralenketting kun je deze handige strategie zichtbaar maken. • Ik rijd voor het eerst de straat binnen waar degene woont bij wie ik op bezoek ga. De nummers beginnen bij 36 en ik moet op 74 zijn. ‘Nog 38 nummers verder’, denk ik. Maar dat gaat toch harder dan ik verwacht. Voor ik het weet sta ik bij 76. Dat is 40 nummers verder! Stukje terug dus!! Er is vast nog meer te bedenken om aan begrip te werken. En dat begrip hebben zwakke rekenaars net zo hard nodig als sterke rekenaars. Dat mag je ze niet onthouden.

   

  Hans Bögemann

  De auteur is werkzaam als onderwijsadviseur bij Eduniek, locatie Maartensdijk.